Абелев Интеграл
АБЕЛЕВ ИНТЕГРАЛ, интеграл вида, где интегрирование производится вдоль некоторого спрямляемого пути L, соединяющего точки z0 и z1 в z-плоскости, а R(z,w) - рациональная функция переменных z и w, связанных полиномиальным уравнением F(z, w) = 0. Это уравнение определяет некоторую риманову поверхность F, и Абелев интеграл может быть рассмотрен как интеграл от некоторого пути L на F, накрывающего путь L. Название «Абелев интеграл» дано в честь Н. Абеля, заложившего основы теории Абелева интеграла.
В частном случае, когда F(z,w) = = w2 - Н(z), где Н(z) - многочлен степени 3 или 4, Абелев интеграл называют эллиптическим интегралом, а если степень Н(z) больше или равна 5, то гиперэллиптическим. Абелевы интегралы впервые появились как эллиптические интегралы в работах Я. и И. Бернулли при вычислении длин дуг кривых второго порядка. Проблема обращения эллиптических интегралов (когда Абелев интеграл рассматривается как функция верхнего предела) была поставлена и решена в работах Абеля и К. Якоби в 1827 году. Ими также исследовалась проблема обращения гиперэллиптических интегралов. Существенный вклад в теорию Абелева интеграла внёс Б. Риман, который в 1851 году ввёл важное понятие так называемый римановой поверхности.
Лит.: Чеботарев Н.Г. Теория алгебраических функций. М.; Л., 1948; Спрингер Дж. Введение в теорию римановых поверхностей. М., 1960; Шафаревич И. Р. Основы алгебраической геометрии. М., 1972. Вик. С. Куликов.