Аффинные преобразования

АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ, взаимно однозначные отображения плоскости (пространства) на себя, при которых прямые переходят в прямые. Если на плоскости задана декартова система координат, то любое афинное преобразование этой плоскости может быть определено при помощи так называемого невырожденного линейного преобразования координат х и у точек (х, у) этой плоскости. Такое преобразование задаётся формулами х’ = ах + by + р, у’ = сх + dy + q с дополнительным требованием ad-bc≠0. Аналогично, любое афинное преобразование пространства может быть определено при помощи невырожденных линейных преобразований координат точек пространства. Совокупность всех афинных преобразований плоскости (пространства) на себя образует группу аффинных преобразований. Это означает, в частности, что последовательное проведение двух афинных преобразований эквивалентно некоторому одному аффинному преобразованию.

Примерами афинных преобразований могут служить ортогональное преобразование (представляет собой движение плоскости или пространства или движение с зеркальным отражением); преобразования подобия; равномерное сжатие. Равномерное сжатие с коэффициентом k плоскости π к расположенной на ней прямой а - преобразование, при котором точки а остаются на месте, а каждая не лежащая на а точка М плоскости π смещается по лучу, проходящему через М перпендикулярно а, в такую точку М’, что отношение расстояний от М и М’ до а равно к; аналогично определяется равномерное сжатие пространства к плоскости. Всякое афинное преобразование плоскости можно получить, выполнив некоторое ортогональное преобразование и последовательное сжатие к некоторым двум перпендикулярным прямым. Любое афинное преобразование пространства можно осуществить посредством некоторого ортогонального преобразования и последовательных сжатий к некоторым трём взаимно перпендикулярным плоскостям. При афинном преобразовании параллельные прямые и плоскости преобразуются в параллельные прямые и плоскости. Свойства афинных преобразований широко используются в различных разделах математики, механики и теоретической физики. Так, в геометрии афинные преобразования применяются для так называемой аффинной классификации фигур. В механике афинные преобразования пользуются при изучении малых деформаций непрерывной сплошной среды; при таких деформациях малые элементы среды в первом приближении подвергаются афинному преобразованию.

Лит.: Александров П. С. Лекции по аналитической геометрии. М., 1968; Ефимов Н. В. Высшая геометрия. 6-е изд. М., 1978; Мусхелишвили Н. И. Курс аналитической геометрии. 5-е изд. М., 2002; Федорчук В. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. 2-е изд. М., 2003.