Действительное число

ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЕ ЧИСЛО (вещественное число), любое положительное число, отрицательное число или нуль. Действительные числа разделяются на рациональные и иррациональные. Каждое рациональное число представимо как в виде дроби р/q, где р и q - целые числа, q≠0, так и в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби, а любое иррациональное число представимо в виде бесконечной непериодической десятичной дроби. Строгая теория действительных чисел была развита во 2-й половине 19 века в трудах К. Вейерштрасса, Р. Дедекинда и Г. Кантора. Множество всех действительных чисел называют числовой прямой и обозначают R. Это множество линейно упорядочено (т. е. одно из двух различных чисел больше другого) и образует поле по отношению к операциям сложения и умножения. Множество рациональных чисел всюду плотно в R, т. е. каждое действительное число является пределом последовательности рациональных чисел. Числовую прямую можно представить в виде геометрической прямой, то есть между числами из R и точками на прямой можно установить взаимно однозначное соответствие с сохранением упорядоченности. Важнейшим свойством числовой прямой является её непрерывность. Свойство непрерывности числовой прямой имеет несколько эквивалентных формулировок. Принцип Вейерштрасса: всякое непустое ограниченное сверху числовое множество имеет (единственную) точную верхнюю грань. Принцип Дедекинда: всякое сечение (дедекиндово сечение) в области действительных чисел имеет рубеж. Принцип Кантора (принцип вложенных отрезков): для всякой системы вложенных отрезков числовой прямой, длины которых стремятся к нулю, т. е. системы {[a_n, b_n]}^∞_n=1, а₁ ≤ а₂ ≤ .., b₁ ≤ b₂ ≤..., b_n - a_n → 0, n→∞, существует единственное число, принадлежащее всем отрезкам.

Теория действительных чисел является фундаментом, на котором строится теория пределов и вместе с ней весь современный математический анализ.

Лит.: Никольский С. М. Курс математического анализа. 6-е изд. М., 2001; Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. 8-е изд. М.; СПб., 2001. Т. 1; Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа. 6-е изд. М., 2002. Ч. 1.