Дифференциальное уравнение с частными производными

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ, уравнение вида (1)

где F - заданная действительная функция точки х = (х₁ ..., х_n) некоторой области D в n-мерном евклидовом пространстве, n ≥ 2, и переменных

где u(х) - неизвестная функция; неотрицательные индексы i₁, ..., i_n таковы, что i₁, + ... + i_n = k, k =1,...,m, m≥ 1, и по  крайней  мере  одна из производных

функции F отлична от нуля. Число m называется  порядком  уравнения (1).

Если F - линейная функция переменных p_i1...in то уравнение (1) называется линейным. Линейное уравнение с частными производными 2-го порядка можно записать в виде (2)

где A_ij, B_j, С и f - заданные в области D действительные  функции  точки х.

Как и для обыкновенных дифференциальных уравнений, нахождение частного решения дифференциального уравнения с частными производными требует задания дополнительных условий, которым должно удовлетворять это решение. Такими дополнительными условиями обычно являются начальные условия, т. е. задание функции u(х, t) при некотором значении t  = t₀, или краевые условия, т. е. задание функции u(х, t) на границе области D или на части этой границы.

Например,  общим  решением  уравнения(3)

является  функция

где f и g - произвольные достаточно гладкие функции. Т.о., дифференциальное уравнение (3) ограничивает произвол в выборе функции u(х, t) двух переменных лишь в той мере, что её удаётся выразить через две произвольные функции одного переменного.

Типичной задачей с начальными условиями для системы дифференциального уравнения с частными производными  1-го порядка

где независимыми переменными являются t, х₁ ...,х_n, а u₁,..., u_m суть функции от этих независимых переменных, может служить задача Коши: по заданным  при  каким-либо t = t₀  значениям u_i(t₀, x₁,…, x_n) = φ_i(x₁,…, x_n) найти функции u_i(t, x₁, …, x_n), i = 1, 2, ..., m.

В теории дифференциального уравнения с частными производными порядка выше первого и систем дифференциальных уравнений с частными производными рассматриваются как задачи Коши, так и ряд краевых задач.

При постановке и решении краевых задач для дифференциального уравнения с частными производными порядка  выше первого существенное значение имеет так называемый тип уравнения. В качестве примера можно привести классификацию дифференциальных уравнений с частными производными 2-го порядка с одной неизвестной функцией z (х,у) от  двух  переменных

Если

то уравнение (4) называется эллиптическим. Примером может служить уравнение Лапласа

Если D < 0, то уравнение (4) называется гиперболическим. Примером может служить  уравнение  колебаний  струны

Если D = 0, то уравнение (4) называется параболическим. Примером может служить   теплопроводности  уравнение

О краевых задачах для этих типов уравнений смотри Математической физики уравнения. Для построения приближённых решений дифференциального уравнения с частными производными часто применяется конечных разностей метод.

Лит.: Петровский И. Г. Лекции об уравнениях с частными производными. 3-е изд. М., 1961; Смирнов М. М. Задачи по уравнениям математической физики. 5-е изд. М., 1968; Соболев С. Л. Уравнения математической физики. 5-е изд. М., 1992; Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. 7-е изд. М., 2004.