Динамический хаос

ДИНАМИЧЕСКИЙ ХАОС, нерегулярное, непредсказуемое изменение состояния полностью детерминированной системы, обладающее основными свойствами случайного процесса. Рождение случайного в неслучайном выглядит парадоксальным, поскольку противоречит интуитивным представлениям о том, что система, живущая по простым правилам, ведёт себя просто (т. е. регулярно), а поведение сложной системы должно быть сложным и непредсказуемым.

Историческая справка и примеры систем с динамическим хаосом. Используя законы Ньютона, можно рассчитать траектории планет Солнечной системы не только на столетия, но и на миллионы лет вперёд. Это полная предсказуемость поведения динамической системы. Но даже в такой предсказуемой системе существует объект с нерегулярным поведением - это спутник Сатурна Гиперон. Его движение также удовлетворяет законам динамики, однако его траектория в пространстве хаотически вьётся в окрестности средней орбиты. Это не единственный пример для динамики планет. Хаотическим могло бы быть и движение Земли в гравитационном поле двух солнц.

На первый взгляд, нет более предсказуемого поведения, чем движение одинокого шара на бильярдном столе. Однако если стенки бильярда вогнутые (бильярд Синая), то движение шара непредсказуемо. Причина этой непредсказуемости заключается в экспоненциальной неустойчивости индивидуальных траекторий, которая приводит к чувствительной зависимости от начальных условий (рис. 1). Такая чувствительная зависимость - основная черта всех систем с динамическим хаосом.

На рисунке 2 представлено «чёртово колесо», где в качестве пассажиров расположены чаши, заполняемые сверху водой. Пусть колесо вращается против часовой стрелки. Если поток воды достаточно сильный, колесо начинает вращаться быстрее и поднимающиеся наверх чаши проскакивают верхнюю точку, не успев заполниться. Когда левое плечо колеса станет настолько легче правого, что сил инерции не хватит, чтобы продолжить вращение, колесо на мгновение остановится и затем вновь начнёт вращаться, но уже в противоположную сторону. Такой процесс может быть как периодическим, так и хаотическим. Математически такое вращение колеса описывается так же, как и конвективное движение в слое жидкости, подогреваемом снизу (модель Лоренца). Поведение такой системы можно предсказать только на короткое время.

Пример нерегулярного поведения частиц в регулярном периодическом поле скоростей - хаотическое перемешивание (капля молока в чашке кофе, закрученная ложечкой,  рисунок 3).  Подобное перемешивание представляет собой цепочку чередующихся растяжений и складываний капли.

До 19 века Вселенная рассматривалась как предсказуемая система. П. Лаплас предполагал, что её состояния могут быть вычислены, если все силы, действующие в природе, заданы и начальные условия для всех небесных тел известны (лапласовский детерминизм). Однако в конце 19 века А. Пуанкаре открыл, что движение небесных тел не является полностью предсказуемым - гравитационное взаимодействие более чем двух небесных тел описывается неинтегрируемыми уравнениями с неустойчивыми и, возможно, хаотическими траекториями. В лаборатории сложное поведение сравнительно простых колебательных систем наблюдалось ещё в 1920-х годах. Эксперименты с электронными генераторами и моделью магнитного динамо (1958) показали сложное поведение простых детерминированных (неслучайных) систем, однако то, что они могут вести себя хаотически, ещё не было осознано. Только в начале 1960-х годов результаты компьютерного моделирования (Э. Лоренц, США, 1963) и ряд открытий в математике привели к революции в понимании природы случайного, а к концу 20 века понятие динамического хаоса стало реальным и привычным.

Характеристики хаоса. Существование динамического хаоса, который присущ многим динамическим системам, связано с так называемой локальной неустойчивостью траекторий. В пространстве, образованном множеством всевозможных состояний системы (фазовом пространстве), локальная устойчивость выбранной траектории определяется знаком показателей Ляпунова, которые вычисляются как среднее по времени от логарифма отношения размера капли фазовой жидкости, движущейся вдоль траектории, в момент времени t к её размеру в начальный момент времени. Число показателей Ляпунова равно размерности фазового пространства. Вдоль одних направлений близкие траектории могут экспоненциально расходиться (неустойчивые направления), а вдоль других, наоборот, могут приближаться друг к другу. Отвечающие им показатели соответственно положительны и отрицательны. Сумма положительных показателей Ляпунова, характеризующая неустойчивость рассматриваемой траектории, больше или равна энтропии Колмогорова-Синая. Ввиду расходимости близких траекторий в фазовом пространстве более длительное наблюдение хаотической траектории даёт более детальную информацию о начальных условиях: хаотическая траектория порождает информацию. Величина этой информации с обратным знаком равна энтропии Колмогорова-Синая. Динамический  хаос  - это поведение динамической системы, характеризуемое конечной положительной энтропией Колмогорова-Синая. Представленный на рисунке 3 фазовый портрет (совокупность траекторий в фазовом пространстве) отражает наличие порядка в динамическом хаосе, его подчинение сравнительно простым законам. На хаотическом множестве перемешивающийся фазовый поток хранит память о последовательных растяжениях и складываниях.

Хаотические множества гамильтоновых систем, а также странные аттракторы систем с диссипацией не заполняют полностью какой-либо объём в фазовом пространстве. Это множества с дробной размерностью, или фракталы. Часто такие множества самоподобны. Хаотическую траекторию можно рассматривать как набор отрезков бесконечного числа различных периодических траекторий, отражающих существование в хаотическом множестве бесконечного числа неустойчивых циклов.

Маломерный хаос и турбулентность. Сценарии рождения маломерного динамического хаоса, т. е. последовательности бифуркаций, предшествующих его возникновению, являются общими для систем различной природы. Их анализ позволил, в частности, приблизиться к пониманию динамической природы возникновения турбулентности при потере устойчивости ламинарным течением. Эксперименты с закрытыми течениями продемонстрировали несколько универсальных сценариев зарождения случайного: 1) цепочка бифуркаций удвоения периода в конвективных ячейках Рэлея - Бенара; 2) переход к хаосу через разрушение квазипериодических течений; 3) переход через перемежаемость, т. е. рождение локализованных хаотических всплесков. Обнаружение этих сценариев подтвердило идею о динамической природе перехода к турбулентности.

Лит.: Заславский Г. М., Сагдеев Р. З. Введение в нелинейную физику. М., 1988; Шустер Г. Г. Детерминированный хаос. М., 1988; Рабинович М .И., Трубецков Д. И. Введение в  теорию  колебаний  и  волн. 2-е изд. М., 1992.