Дирака уравнение

ДИРАКА УРАВНЕНИЕ, дифференциальное уравнение для волновой функции ψ(х, t) свободной (невзаимодействующей) релятивистской частицы со спином 1/2 (электрон, мюон, кварки и др.), описывающее изменение её состояния со временем t (х - пространственные координаты). Получено П. Дираком в 1928 году на основе следующих требований. Уравнение должно быть инвариантным относительно Лоренца преобразований (т. е. иметь одинаковый вид во всех инерциальных системах отсчёта); линейным, чтобы выполнялся суперпозиции принцип; должно быть первого порядка по времени, чтобы состояние в данный момент определяло состояния во все последующие моменты времени. Этим требованиям удовлетворяет только система из четырёх уравнений для функции ψ(х), которая имеет 4 компоненты, и Дирака уравнение записывается в виде

где μ = 0, 1, 2, 3; х₁=х, х₂ = у, х₃ = z - пространственные координаты, х₀ = ct - временная координата, с - скорость света, ħ - постоянная Планка, m - масса частицы; γ_μ - так называемые матрицы Дирака.

Для свободной частицы Дирака уравнение приводит к релятивистскому соотношению между импульсом р, энергией Е и массой частицы:

Для покоящейся частицы это соответствует Е = ± mс² (энергия покоя частицы). Интервал энергий -mс² < Е < mс² является запрещённым. В квантовой теории поля состояние частицы с отрицательной энергией интерпретируется как состояние античастицы, обладающей положительной энергией, но противоположным электрическим и другими сохраняющимися зарядами (лептонным, барионным, гиперзарядом). Таким образом, четыре независимых решения Дирака уравнения описывают не только состояние частицы со спином 1/2 но и состояние её античастицы, каждое с двумя возможными проекциями спина на направление импульса (+ 1/2 и -1/2). Экспериментальное обнаружение в 1932 году позитрона (антиэлектрона), предсказанного Дираком, подтвердило справедливость уравнения Дирака.

Для взаимодействующих частиц в Дирака уравнении появляется дополнительное слагаемое, учитывающее это взаимодействие. В квантовой электродинамике, объединённой теории слабого и электромагнитного взаимодействий, а также в квантовой хромодинамике вид этого слагаемого определяется требованием локальной (т. е. зависящей от координат и времени) калибровочной симметрии. В электродинамике, например, оно получается заменой производной ∂ψ(x)/∂x_μ в Дирака уравнении на (∂/∂x_μ+iеА_μ/ħс)ψ(x), где е - заряд частицы, А_μ - четырёхмерный потенциал электромагнитного поля; слагаемое iеА_μ/ħс описывает взаимодействие заряженной частицы с электромагнитным полем. Аналогичные члены, описывающие взаимодействие частицы с векторными калибровочными полями, возникают и в других квантовых теориях.

Заряженная частица, описываемая Дирака уравнением, обладает магнитным моментом eħ/2mc (для электрона равным магнетону Бора). Однако взаимодействие с вакуумом приводит в квантовой теории поля к появлению дополнительного, так называемого аномального, магнитного момента. В нерелятивистском пределе Дирака уравнение для электрона переходит в Паули уравнение, объясняющее, в частности, тонкую структуру уровней энергии атома.

Лит. смотри при ст. Квантовая механика.

А. В. Ефремов.