Дискретная подгруппа

ДИСКРЕТНАЯ ПОДГРУППА, подгруппа Г группы Ли G (или, более общо, топологической группы), являющаяся дискретным подмножеством (смотри Групп теория, Ли групп теория). Дискретность означает, что в каждом ограниченном подмножестве группы G содержится лишь конечное число элементов подгруппы Г. Примерами дискретной подгруппы являются подгруппа Zⁿ целочисленных векторов n-мерного пространства Rⁿ и подгруппа SL_n(Z) целочисленных матриц в группе SL_n(R) вещественных матриц порядка n с определителем 1.

До середины 20 века рассматривались отдельные классы дискретной подгруппы, обязанные своим происхождением арифметике, теории функций и кристаллографии. Исследование группы SL_n(Z) составило предмет, так называемой теории приведений, разработанной российскими математиками А. Н. Коркиным и Е. И. Золотарёвым, а также Ш. Эрмитом, Г. Минковским и др. во 2-й половине 19 - начале 20 века. Ряд дискретной подгруппы классических групп Ли исследовал в начале 1940-х годов К. Зигель. В теории функций комплексного переменного решение дифференциальных уравнений с алгебраическими коэффициентами привело к рассмотрению некоторых специальных функций (названных впоследствии автоморфными), инвариантных относительно различных дискретных подгрупп  группы SL₂(R) . Обширный класс таких групп, в том числе группа SL₂(Z) был в этой связи изучен Ф. Клейном. Почти одновременно, в 1881-82, А. Пуанкаре дал геометрическое описание всех таких групп.

В кристаллографии Е. С. Фёдоровым в конце 19 века рассматривались группы симметрии кристаллических структур, являющиеся дискретной подгруппой группы движений трёхмерного евклидова пространства. Эти и подобные им группы движений n-мерного евклидова пространства были изучены с алгебраической точки зрения немецким математиком Л. Бибербахом в 1911. Он, в частности, доказал, что всякая такая группа содержит группу, изоморфную Zⁿ и состоящую из параллельных переносов. Все эти исследования послужили исходным материалом для создания общей теории дискретной подгруппы групп Ли в 1950-70-е годы. Большой вклад в исследование дискретной подгруппы внесли  А. И.  Мальцев,  американский математик А. Борель, индийский математик Хариш-Чандра, американский математик российского происхождения Г. А. Маргулис. Исследование дискретной подгруппы в группе движений трёхмерного пространства  Лобачевского  приобрело особое значение благодаря обнаруженной около 1980 года американским математиком У. Тёрстоном её связи с топологией трёхмерных многообразий.

Лит.: Рагунатан М. Дискретные подгруппы групп Ли. М., 1977; Винберг Э. Б., Горбацевич В. В., Шварцман О. В. Дискретные подгруппы групп Ли // Итоги науки и техники. Сер. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. 1988. Т. 21; Винберг Э. Б., Шварцман О. В. Дискретные группы движений пространств постоянной кривизны // Там же. 1988. Т. 29; Маргулис Г. А. Дискретные подгруппы полупростых групп Ли. М., 2006.