Длина

ДЛИНА, числовая характеристика протяжённости линии. Длина  отрезка прямой - расстояние между его концами, измеренное с помощью какого-либо отрезка, принятого за единицу длины. Длина  ломаной - сумма длин её звеньев. Длина  простой или жордановой дуги (смотри Жордана кривая) - предел длин вписанных в эту дугу ломаных, когда число звеньев неограниченно увеличивается и максимум длин звеньев стремится к нулю. Длина  непрерывной кривой, состоящей из конечного числа простых дуг, равна сумме длин этих дуг. Например, длина окружности может быть получена как предел периметров правильных вписанных (или описанных) многоугольников при неограниченном удвоении числа их сторон и равна 2πR, где R - радиус окружности. Всякая непрерывная кривая имеет длину - конечную или бесконечную. Если её длина конечна, то кривая называется спрямляемой.        

График  функции   f (х) = х sin π/2х – при 0 < х ≤ 1 (рис.) даёт пример неспрямляемой  кривой,  её длина бесконечна, так как длины вписанных ломаных неограниченно растут, когда длины звеньев стремятся к нулю. Длина  плоской кривой, заданной в прямоугольных координатах уравнением у = f (х), а ≤ х ≤ b, в случае когда f (х) имеет непрерывную производную f’(х), выражается интегралом

Если кривая задана в параметрическая форме х = х(t), у = у(t), t₁ ≤ t ≤ t₂, то её длина равна

Длина  спрямляемой кривой не зависит от параметризации.  Длина    пространственной кривой, заданной в параметрическая форме х = х(t), у = у(t), z = z(t), t₁ ≤ t ≤ t₂, выражается формулой

Использование предельного перехода для вычисления длин кривых при помощи длин ломаных было известно математикам древности. Однако понятие длин кривой не определялось, так как представлялось, по-видимому, одним из первоначальных математических понятий. Необходимость строгого определения длины кривой стала ясна в 1-й половине 19 века. Строгий подход к понятию длины кривой предложен М. Э. К. Жорданом в 1880-х годах. В дифференциальной геометрии определяется также длина кривой на поверхности или в произвольном римановом пространстве.

Длина  в математике, как правило, - безразмерная величина. Единица длины в Международной системе единиц - метр.