Дробь арифметическая

ДРОБЬ арифметическая (положительная обыкновенная дробь), величина, содержащая целое число долей единицы. Дробь  изображается   символом

или m/n, где натуральное (т. е. целое положительное; число n называется знаменателем дроби и показывает (знаменует), на сколько долей   разделяется  единица,  а   натуральное число m, называемое числителем, показывает, сколько таких частей содержит данная дробь, сама дробь называется частным от деления числа m на число n. Если m делится нацело на n, то частное m/n является целым числом (например, 6/3 = 2, 33/11 = 3), в противном случае частое m/n называется дробным числом (например, 3/7, 20/12).

Дробь  m/n не меняется, если её числитель и знаменатель умножить на одно и то же натуральное число. Благодаря этому любые две дроби m/n и р/q можно привести к общему знаменателю, т. е. заменить m/n и р/q на равные им дроби, имеющие один и тот же знаменатель. Кроме того, дробь можно сокращать, поделив её числитель и знаменатель на одно и то же натуральное число (если числитель и знаменатель делятся нацело на это число), поэтому всякую дробь можно представить в виде несократимой дроби, т. е. такой, у которой числитель и знаменатель не имеют общих делителей; например, 16/72 является сократимой дробью, поскольку 16/72 =  (2·8)/(9·8) = 2/9, а 27/64 - несократимой  дробью.

Сумма и разность дроби а/b и с/b с одинаковыми знаменателями определяются по правилу

в случае разности предполагается, что а>с. Чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, надо предварительно привести их к общему знаменателю. Обычно в качестве общего знаменателя дробей а/b и с/d берётся наименьшее общее кратное чисел b и d или их произведение. Умножение и деление дробей производятся  по  правилам

Дробь  а/b называется правильной, если её числитель меньше знаменателя, и неправильной в противном случае. Неправильная дробь может быть представлена в виде так называемого смешанного числа, т. е. в виде суммы целого числа и правильной дроби. Для этого надо числитель разделить (с остатком) на знаменатель и записать без пробела частное и правильную дробь, являющуюся частным от деления остатка на знаменатель. Например,

(читается пять целых шесть семнадцатых). Дробь, знаменатель которой есть (натуральная) степень числа 10, называется десятичной дробью. Такую дробь обычно   пишут  без  знаменателя,  например:

Наряду с положительными обыкновенными  дробями  в  арифметике рассматриваются дроби р/q, где р и q - целые числа любого знака и q≠0. Такие дроби составляют множество рациональных чисел. О непрерывных (цепных) дробях смотри Непрерывная дробь.

Операции над дробями встречаются в древнеегипетском папирусе Ахмеса (около 200 до нашей эры), где считаются допустимыми только дроби вида 1/n, n - натуральное число. Такие дроби называются аликвотными, и ставится задача о представлении любой дроби суммой не равных между собой дробей вида 1/n; например, 7/29 можно представить в виде суммы 1/5 + 1/29 + 1/145. В древневавилонских памятниках письменности встречаются так называемые сексагезимальные дроби, то есть дроби, знаменатели которых суть степени числа 60; деление единицы на 60 и 3600 = 60² частей сохранилось до нашего времени в делении часа или градуса на 60 минут и каждой минуты на 60 секунд. Современное обозначение дробей, по-видимому, впервые появилось у древних индийцев. В европейскую математику термин «дробь» введён Фибоначчи (1202) после его знакомства с трудами арабских математиков. Термины «числитель» и «знаменатель» встречаются у Максима Плануда.

Лит.:  Депман  И. Я.  История  арифметики. 2-е изд. М., 1965.