Дробно-линейная функция

ДРОБНО-ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ, функция

где х - действительная переменная, а, b, с, d - действительные числа и ad - bc ≠ 0. При ad - bc = 0 дробно-линейная функция сводится к тождественной постоянной; если ad - bc ≠ 0., но с = 0, то дробно-линейная функция сводится к линейной функции. При с ≠ 0 графиком дробно-линейной функции является равнобочная гипербола с горизонтальной асимптотой у = а/с и вертикальной  асимптотой х = -d/с.

В случае комплексной переменной х и комплексных чисел а, b, с, d дробно-линейная функция осуществляет взаимно однозначное и конформное отображение комплексной плоскости (пополненной точкой ∞) на себя, называемое дробно-линейным отображением (это единственная аналитическая функция, обладающая указанным свойством). Дробно-линейная функция характеризуется также тем, что она переводит прямые и окружности, лежащие в комплексной плоскости, в прямые и окружности. Всякое конформное отображение внутренности круга на себя осуществляется при помощи дробно-линейной функции. Двойное отношение четырёх точек

является инвариантом дробно-линейной функции. Иными словами, если дробно-линейная функция переводит х₁ в у₁,  х₂  в  у₂, х₃  в  у₃, и  х₄  в  у₄,  то

Лит.: Маркушевич А. И. Краткий курс теории аналитических функций. 3-еизд. М., 1966; Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного. 14-е изд. М., 1999.