Движение в геометрии

ДВИЖЕНИЕ в геометрии, преобразование евклидова пространства, сохраняющее расстояние между любыми двумя точками. Движение называется собственным (движение 1-го рода) или несобственным (движение 2-го рода) в зависимости от того, сохраняет или не сохраняет движение ориентацию пространства. Собственное движение на плоскости может быть задано в прямоугольной системе координат Оху формулами

х’ = х cosφ - у sinφ + а,

у’ = х sinφ + у cosφ + b.

Параметры а и b характеризуют параллельный перенос плоскости на вектор (а, b) с компонентами а и b, а параметр φ - вращение плоскости вокруг начала координат. Собственное движение может быть представлено как произведение (суперпозиция) вращения вокруг начала координат на угол φ и параллельного переноса на вектор (а, b).

Несобственное движение на плоскости может быть задано в прямоугольных координатах Оху формулами

х’ = х cosφ + у sinφ + а,

у’ = х sinφ - у cosφ + b.

Несобственное движение есть произведение собственного движения на преобразование симметрии относительно некоторой прямой.

В пространстве (как и на плоскости) движение аналитически задаётся линейным преобразованием с ортогональной матрицей, определитель которой равен 1 или -1 в зависимости от того, является движение собственным или несобственным. Собственное движение есть или вращение вокруг оси, или параллельный перенос, или может быть представлено в виде произведения вращения вокруг оси и параллельного переноса в направлении этой оси (винтовое движение). Несобственное движение в пространстве есть либо симметрия относительно плоскости, либо может быть представлено в виде произведения симметрии относительно плоскости на вращение вокруг оси, перпендикулярной этой плоскости, либо в виде произведения симметрии относительно плоскости на перенос в направлении вектора, параллельного этой плоскости.

Движение  может быть принято в качестве основного понятия при аксиоматическом построении геометрии. В этом случае вместо аксиом конгруэнтности вводятся аксиомы движения (фигуры называются конгруэнтными, если одна переходит в другую при помощи некоторого движения).

Лит.: Александров П. С. Лекции по аналитической геометрии... М., 1968; Рашевский П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ. 4-е изд. М., 2003.