Гармоническая функция

ГАРМОНИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ в области D евклидова n-мерного пространства, n ≥2, действительная функция u(х) =  u(х₁ ... x_n), дважды непрерывно дифференцируемая и удовлетворяющая уравнению Лапласа

Гармонические функции широко используются в математической физике. Это связано с тем, что на практике многие стационарные (установившиеся) физические процессы описываются потенциальными векторными полями, т. е. полями типа grad u(х), при этом условие гармоничности потенциала и в области D эквивалентно отсутствию источников соответствующего поля в D. Так, например, потенциал стационарного поля сил тяготения в области без притягивающих масс, потенциал электростатического поля в области, не содержащей электрических зарядов, потенциал поля скоростей безвихревого установившегося течения несжимаемой жидкости, температура однородного тела при условии установившегося распределения температуры (без внутренних источников) суть гармонических функций. В приложениях, как правило, встречаются гармонические функции трёх переменных [пространственных координат точки х = (х₁, х₂, х₃)], а также гармонических функций двух переменных, которые появляются, когда, например, функция u(х₁, х₂, х₃), описывающая исследуемое явление, не зависит от одной из координат.

Гармонические  функции двух переменных u(х,у) находятся в тесной связи с аналитическими функциями f(z) комплексного переменного z = х+iy. Точнее, функция u(х,у) является гармонической в плоской односвязной области D тогда и только тогда, когда она совпадает с действительной или мнимой частью некоторой аналитической в D функции f(z).

Основными свойствами гармонической функции u в области D являются бесконечная дифференцируемость u в D, теорема о среднем значении (для любого шара В, лежащего в D, значение u в центре шара равно среднему значению u по этому шару и равно среднему значению по поверхности сферы, ограничивающей шар В), принцип экстремума (непостоянная гармоническая функция u не может иметь локальных максимумов и минимумов внутри D), свойство единственности (гармоническая функция u в любой точке х Є D однозначно определяется своими значениями в сколь угодно малой окрестности произвольной фиксированной точки а Є D).

В теории гармонической функции особую роль играют так называемые фундаментальные решения уравнения Лапласа, с помощью которых, в частности, решаются основные краевые и граничные задачи теории гармонических функций в областях с гладкой границей. Смотри Дифференциальное уравнение с частными производными, Потенциала теория.

Лит. : Ландкоф Н. С. Основы современной теории потенциала. М., 1966; Келдыш М. В. Математика. Избранные труды. М., 1985; Владимиров В. С. Уравнения математической физики. 5-е изд. М., 1988; Axler S., Bourdon Р., Ramey W. Harmonic function theory. 2nd ed. N. Y., 2001.

П. В. Парамонов.