Геометрия чисел

ГЕОМЕТРИЯ ЧИСЕЛ (геометрическая теория чисел), раздел теории чисел, изучающий теоретико-числовые проблемы с применением геометрических методов. Геометрия чисел сформировалась после выхода монографии Г. Минковского (1896) как раздел математики, находящийся на стыке теории чисел и геометрии. Исходным пунктом геометрии чисел явилось то обстоятельство, что некоторые предложения о свойствах фигур в w-мерном евклидовом пространстве имеют глубокие следствия в теории чисел. Типичной задачей геометрии чисел является задача об арифметическом минимуме m(F) действительной функции F(х), х = (х₁ ,...,x_n). При этом под m(F) понимается точная нижняя грань значений функции F(х) по всем целым точкам х (т. е. точкам с целочисленными координатами), удовлетворяющим некоторому дополнительному условию (например, условию х ≠ 0). В важнейших частных случаях эта задача решается при помощи теоремы Минковского о выпуклом теле, которая может быть сформулирована следующим образом: пусть F(х) - такая функция, что F(х) = F(- х) для всех х и неравенство F(х) < 1 задаёт выпуклое n-мерное тело объёма V_F, тогда m(F) = 2V_F^-1/n.

По значению m(F) можно судить, например, об условиях существования решений диофантова неравенства |F(x)| ≤ с; к вопросу существования решений такого неравенства сводятся многие задачи теории чисел. Особым разделом геометрии чисел является геометрия квадратичных форм.

Лит.: Касселс Дж. В. С. Введение в геометрию чисел. М., 1965.