Гипергеометрическое распреде­ление

ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ, распределение вероятностей случайной величины Х, принимающей значения m= 0, 1, ..., n с вероятностями

где в правой части стоят биномиальные коэффициенты, а, M, N, n - натуральные числа и

m ≤ N, n ≤ N,

max(0, M + n- N)  ≤ m ≤ min(n, M).

Гипергеометрическое  распределение появляется, например, в связи с выбором без возвращения, а именно: формула (1) указывает вероятность получения ровно m отмеченных элементов в случайной выборке объёма n из совокупности, содержащей N элементов, среди которых М отмеченных и N-M неотмеченных.

Если M, N → ∞ так, что M/N → р > 0, то для любого фиксированного n и m = 0, 1, … n имеет место биномиальное приближение

Математическое ожидание гипергеометрического распределения не зависит от N и совпадает с математическим ожиданием μ = nρ соответствующего биномиального распределения. Дисперсия гипергеометрического распределения σ² = npq(N - n)/(N - 1) не превосходит дисперсии npq биномиального распределения. Производящая функция гипергеометрического распределения представляет собой гипергеометрическую функцию F(α,ß,γ;z), где α = -n, ß = -М, γ = N-М-n+1.

Гипергеометрическое  распределение используется в задачах выборочного статистического обследования и статистического приёмочного контроля.

Лит.: Большев Л. Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики. 3-е изд. М., 1983.