Голономные системы

ГОЛОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ, механические системы, на которые либо не наложены никакие связи, либо наложены только голономные (геометрические) связи (смотри Связи механические). Эти связи, накладывающие ограничения на положения точек системы, представляются в форме конечных соотношений вида

f_j(x₁,..., х_3N, t) = 0                                 (1)

(j=l,...,k; k<3N).

Здесь t - время, x_v(v = 1,..., 3Ν) - де­картовы координаты точек, N - число точек системы, k - число наложенных связей.

Связи (1) накладывают ограничения не только на положение x_ν точек систе­мы, но и, будучи продифференцированы по времени, на их скорости v_v = dx_v/dt.

Предполагая k функций f_s незави­симыми, положение голономной системы можно задать n = 3N - k независимыми параметра­ми q_i, при помощи которых уравнения связей (1) можно представить в форме x_v = x_v(q₁ ,.., q_n, t) (v = 1, ..., 3Ν). Па­раметры q_i называются обобщёнными координатами, а их число n - числом степеней свободы голономных систем.

Примерами голономных систем являются: материаль­ная точка с координатами х, у, z, движу­щаяся по поверхности, заданной уравне­нием f(x, у, z,t) = 0 (2 степени свободы); две материальные точки с координата­ми x₁, y₁,z₁ и х₂,y₂,z₂, соединённые не­весомым абсолютно твёрдым стержнем и движущиеся в пространстве (5 степе­ней свободы); твёрдое тело, движуще­еся по гладкой горизонтальной плоско­сти (5 степеней свободы).

Голономные  системы принципиально отличаются от неголономных систем, подчинённых неголономным связям, которые накладывают ограничения на скорости точек системы, но при этом не могут быть представлены в форме конечных соотношений вида (1).

Большинство методов аналитической механики развито именно для голономных систем. К таким системам (в отличие от неголономных) применимы все вариационные принципы механики. Движение голономных систем опи­сывается Лагранжа уравнениями 1-го и 2-го рода, Гамильтона уравнениями.

В. М. Морозов.