Гомоморфизм

ГОМОМОРФИЗМ (от гомо... и греческого μορφ? - вид, форма) (гомоморфное отображение), математическое понятие, обобщающее понятие изоморфизма. Возникло первоначально в алгебре (гомоморфизм групп). Общее определение гомоморфизма  дано Э. Нётером (1929). Понятие гомоморфизм  относится к паре алгебраических систем - паре объектов с заданными на них операциями и/или отношениями и определяется для них как отображение множества элементов одной системы в другую, сохраняющее все операции и отношения. Например, гомоморфизм  группы G в группу Н есть такое отображение φ, при котором каждому элементу g Є G поставлен в соответствие определённый элемент h = φ(g) Є Н (образ g), причём произведению двух элементов g₁ и g₂ из G соответствует произведение их образов, то есть φ(g₁g₂) = φ(g₁)φ(g₂). Если, как и в случае групп, алгебраическая система имеет нулевую подсистему (в группе это единица), то множество элементов первой системы, отображающихся при гомоморфизме  φ в нулевую подсистему второй, называют ядром гомоморфизма.  С каждым гомоморфизмом  φ : G → Н связана однозначно определённая конгруэнция системы G (смотри Конгруэнций теория). Обобщением понятия гомоморфизма  служит понятие морфизма в категорий теории. В некоторых разделах математики термин «гомоморфизм » употребляется вместо термина «морфизм» и наоборот.