Грина функция

ГРИНА ФУНКЦИЯ, ядро интегрального оператора, обратного дифференциальному оператору краевой задачи (смотри Краевые задачи). Решение и краевой задачи Au = f в области Ω ⊂ Rⁿ, где А - оператор краевой задачи, а f -гладкая функция, заданная в Ω, записывается в виде интегрального оператора

с ядром G, являющимся Грина функцией этой краевой задачи. Во многих случаях Грина функция допускает наглядное истолкование как результат воздействия сосредоточенного в точке источника силы, заряда и т.п. (поэтому Грина функцию иногда называют функцией источника). Так, при электростатической интерпретации Грина функция представляет собой потенциал поля точечного заряда, помещённого внутри заземлённой проводящей поверхности. Грина функция может быть легко построена для ряда областей (сферы, полупространства, круга, прямоугольника и т.п.). Грина функция применяется также при решении краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений. Названа по имени Дж. Грина, впервые рассмотревшего один её частный случай в своём исследовании по теории потенциала (1828).

В. П. Михайлов.

Грина функция в квантовой теории поля - одна из основных величин, определяющих движение частиц и состояние полей; представляет собой среднее по вакууму от хронологического произведения операторов полей. Используется как вспомогательная величина при расчётах физических характеристик и решении уравнений при заданных источниках. Для свободных полей одночастичную Грина функцию называют также функцией распространения или пропагатором.

Грина функция в статистической физике - обобщение временной корреляционной функции, разработанное для вычисления наблюдаемых физических величин квантовой системы многих частиц. Грина функции используются в статистической физике равновесных систем для вычисления термодинамических функций и спектров элементарных возбуждений, а также в теории необратимых процессов. Применение Грина функции связано с тем, что для нахождения важных характеристик системы многих частиц нужно знать не детальное поведение каждой частицы, а только усреднённое поведение одной или двух частиц под действием остальных, для описания которого можно ввести функцию Грина.

Лит.: Абрикосов А. А., Горьков Л. П., Дзялошинский И. Е. Методы квантовой теории поля в статистической физике. М., 1962; Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В. Введение в теорию квантовых полей. 4-е изд. М., 1984; Соболев С. Л. Уравнения математической физики. 5-е изд. М., 1992; Лифшиц Е.М., Питаевский Л. П. Статистическая физика. 4-е изд. М., 2002; Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. 7-е изд. М., 2004.