Гука закон

ГУКА ЗАКОН, основной закон теории упругости, выражающий линейную зависимость между напряжениями и деформациями в упругом теле; открыт Р. Гуком в 1660. В простейшем случае растяжения стержня длиной l (в пределах его упругости) удлинение Δl пропорционально растягивающей силе F. Вводя механическое напряжение σ = F/S и деформацию ε = Δl/l (S - площадь поперечного сечения стержня), Гука закон можно записать в виде σ = Εε, где коэффициент пропорциональности Е называется модулем упругости или модулем Юнга (введён Т. Юнгом в 1807). В условиях сдвига (например, при кручении круглого стержня) Гука закон имеет вид τ = Gγ, где τ - касательное напряжение, γ - угол закручивания, G - модуль сдвига.

В произвольной точке изотропного упругого тела тензоры напряжений σij и деформаций εij (i,j =1,2,3) связаны т. н. обобщённым Гука законом: εij = λΘσij + 2μεij, где Θ = ε11 + ε22 + ε33, λ, μ - параметры Ламе, λ = Ev[(1 + ν)(1 - 2ν)]-1,μ = G = Е/2( 1 + ν), v - коэффициент Пуассона, δij = (0 при i≠j, 1 при i=j). Для анизотропных тел обобщённый Гука закон представляет собой линейную зависимость общего вида σij от εij. В общем случае анизотропии упругие свойства твёрдого тела характеризуются с помощью 21 независимого модуля упругости.

Реклама

Гука закон можно рассматривать как уравнение состояния упругой среды; он справедлив для кристаллических и аморфных тел, для многих композитов и, в первом приближении, для полимеров (в этом случае Е зависит от скорости деформации). Гука закон точно выполняется для весьма малых (порядка 10-4) деформаций, а для деформаций порядка 10-3 имеет место явление упругого гистерезиса.

Величина Е материала одинакова при растяжении и сжатии, что следует, в частности, из анализа зависимости сил межатомного взаимодействия от расстояния между атомами. Однако модули упругости пористых материалов часто обнаруживают значительное различие; это объясняется тем, что при сжатии происходит схлопывание пор, и уже при весьма малой деформации проявляется «эффективный модуль сжатия», существенно превышающий модуль растяжения.

Лит.: Ильюшин А. А., Ленский В. С. Сопротивление материалов. М., 1959; Филин А. П. Прикладная механика твердого деформируемого тела. М., 1975. Т. 1.

В. Н. Кузнецов.