Изинга модель

ИЗИНГА МОДЕЛЬ, упрощённая модель магнетика в виде системы магнитных диполей (спинов), расположенных в узлах кристаллической решётки. Предложена немецким физиком В. Ленцем в 1920, для одномерного случая исследована немецким физиком Э. Изингом в 1925, для двумерной решётки - Л. Онсагером в 1944.

В каждом узле кристаллической решётки с номером k спин может быть направлен «вверх» (σ_к = 1) или «вниз» (σ_к = -1). Микроскопическое состояние системы определяется заданием ориентации спинов во всех узлах решётки. Энергия микроскопического состояния складывается из обменного взаимодействия спинов, описываемого константами J_kl (k и l - различные узлы решётки), и взаимодействия спинов с внешним магнитным полем напряжённостью Н. При Н = 0 любой энергетический уровень дважды вырожден, так как энергия взаимодействия не изменяется при перевороте всех спинов (изменении знака всех σ_к).

Существует несколько разновидностей Изинга модели. В некоторых моделях рассматривается лишь взаимодействие ближайших соседей: J_kl ≠ 0 только в том случае, если узлы k и l соединены ребром решётки. В однородной Изинга модели (с взаимодействием ближайших соседей) величины J_kl не изменяются при трансляции ребра (k, l) на произвольный вектор решётки и зависят лишь от ориентации ребра (k, l) - так называемая анизотропная Изигнга модель. В однородной изотропной Изинга модели постоянные J_kl одинаковы на всех рёбрах решётки. В ферромагнитной Изинга модели J_kl> 0; в основном состоянии (состоянии с наименьшей энергией) все спины ориентированы одинаково. В антиферромагнитной Изинга модели (с взаимодействием ближайших соседей) J_kl < 0; предполагается, что решётку можно разделить на две подрешётки. В основном состоянии все спины одной подрешётки ориентированы одинаково и противоположно спинам другой подрешётки. Во фрустрированных Изинга моделях J_kl < 0 на решётках, которые нельзя разделить на две подрешётки, например на плоской треугольной решётке. В этом случае основное состояние сильно вырождено.

Изинга модель создана для описания магнитных фазовых переходов. Фазовые переходы в Изинга модели связаны со спонтанным нарушением симметрии. В ферромагнитной Изинга модели параметром порядка служит средняя намагниченность, в антиферромагнитной Изинга модели - разность намагниченностей подрешёток. В Изинга модели для одномерного случая все термодинамические величины являются аналитическими функциями температуры Т и Н, фазовый переход отсутствует. В ферромагнитной Изинга модели на двумерной и трёхмерной решётках при низких температурах спонтанная намагниченность отлична от нуля. С ростом Т она уменьшается, обращаясь в нуль при Т=Т_С (Т_С - температура Кюри). При Н≠0 спонтанная намагниченность конечна при любой температуре. Антиферромагнитная Изинга модель при Н = 0 сводится к ферромагнитной. В слабом внешнем магнитном поле антиферромагнетик, описываемый Изинга моделью, переходит из упорядоченного антиферромагнитного состояния при низких температурах в неупорядоченное состояние при высоких. Для двумерной Изинга модели на квадратной решётке при Н = 0 в термодинамическом пределе (размеры решётки стремятся к бесконечности) аналитически вычислены свободная энергия, параметр порядка и корреляционные функции.

Введённая изначально для понимания природы ферромагнетизма, Изинга модель получила более широкое распространение. Она используется также для описания критических явлений, жидкостей и растворов, спиновых стёкол, клеточных мембран и др.

Лит.: Паташинский А. З., Покровский В. Л. Флуктуационная теория фазовых переходов. М., 1982; Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Статистическая физика. 5-е изд. М., 2001.