Калибровочная симметрия

КАЛИБРОВОЧНАЯ СИММЕТРИЯ (калибровочная инвариантность), принцип, согласно которому наблюдаемые физические величины не изменяются при определённых преобразованиях полей; при этом преобразования могут различаться в разных точках пространства и времени. Калибровочная симметрия является центральным понятием фундаментальной теории материи, так как все известные фундаментальные взаимодействия - сильное, электромагнитное, слабое и гравитационное - основаны на этом принципе.

Понятие калибровочной симметрии возникает уже в классической электродинамике, уравнения которой для скалярного φ и векторного А электромагнитных потенциалов не изменяются (т.е. симметричны, или инвариантны) при сдвиге потенциалов на производные от произвольной функции f(t,х,у,z) времени  t и  координат х, у, z:

(1)

где ∇ - градиент функции, с - скорость света. Преобразование (1) называется калибровочным преобразованием в электродинамике. Калибровочная  симметрия в электродинамике проявляется в том, что Максвелла уравнения, записанные только через напряжённости электрического Е = - (1/c)∂A/∂t - ∇φ и магнитного Н = rot А полей, не меняются при преобразовании (1). Наблюдаемыми величинами являются калибровочно-инвариантные напряжённости Е и Н (и функции от них), но не потенциалы φ и А, меняющиеся при калибровочном преобразовании. Впервые калибровочная симметрия классической электродинамики, т. е. инвариантность относительно преобразования (1), была сформулирована Х. А. Лоренцем в 1904.

В квантовой электродинамике преобразование (1) дополняется умножением волновой функции ψ(t, х, у, z) заряженной частицы на фазовый множитель:

(2)

где е - заряд электрона, ħ - постоянная Планка, i - мнимая единица, f(t,х,у,z) - та же функция, что и в преобразовании (1). Инвариантность релятивистского волнового уравнения для заряженной частицы со спином 0 (Клейна - Фока - Гордона уравнения) относительно совместных преобразований (1) и (2) была установлена В. А. Фоком (1926) и названа им градиентной инвариантностью. Более распространённые термины «калибровочная инвариантность» или «калибровочная симметрия» введены Г. Вейлем (1929), который впервые сформулировал калибровочную симметрию как основополагающий принцип построения теории.

В теории Янга - Миллса полей, лежащей в основе стандартной модели сильного и электрослабого взаимодействий, вместо одной заряженной частицы фигурирует мультиплет из нескольких частиц. Обобщением калибровочного преобразования (2) в этом случае является преобразование, в котором поля частиц ψ_i(t,х,у,z), входящих в один мультиплет, преобразуются друг через друга с помощью матрицы U(t,х,у,z):

(3)

где индексы i, j нумеруют частицы в мультиплете; по повторяющимся индексам подразумевается суммирование. Поля Янга - Миллса Α_μ(t, х, у, z)ⁱ_j (μ =  0, 1, 2, 3), представляющие собой матричное обобщение электромагнитных потенциалов, преобразуются с помощью той же матрицы U(t, х, у, z):

(4)

где х^μ = (t, х, у,  z), что является обобщением преобразования (1). (Для краткости записи здесь и ниже используется система единиц ħ = с = 1.) Если в матрицу преобразования U входит n независимых функций времени и координат, то и независимых полей Янга - Миллса Α_μ должно быть n. В частном случае, когда U есть просто фазовый множитель (2), характеризуемый одной функцией, калибровочное поле Α_μ только одно. Этот случай отвечает абелевой, или U(1), калибровочной симметрии. В более общем случае матрицы U принадлежат представлению неабелевой группы Ли, характерным свойством которой является некоммутативность двух преобразований (смотри в статье Коммутативность). В общем случае калибровочная симметрия - это инвариантность наблюдаемых величин при неабелевых (т. е. не коммутирующих между собой) преобразованиях (3) и (4).

В частности, микроскопическая теория сильного взаимодействия - квантовая хромодинамика - основана на принципе калибровочной симметрии. Фундаментальные составляющие материи - кварки - характеризуются, помимо прочего, цветом, который не является наблюдаемым, но может принимать три значения. Принцип калибровочной симметрии состоит в том, что поле кварка данного цвета можно заменить в каждой точке пространства-времени на линейную комбинацию полей кварков другого цвета, и это не должно приводить к наблюдаемым последствиям. Иными словами, наблюдаемыми являются только калибровочно-инвариантные величины, не меняющиеся при преобразованиях (3) и (4), в которых U – унитарная 3х3-матрица с единичным детерминантом, реализующая фундаментальное представление группы SU(3). Аналогично, стандартная модель единого электромагнитного и слабого взаимодействия основана на калибровочной симметрии относительно преобразований (3) и (4) для группы SU(2)xSU(1); в этом случае, однако, калибровочная симметрия должна быть спонтанно нарушена. Успех стандартной модели в описании сотен свойств элементарных частиц не оставляет сомнений в том, что принцип калибровочной симметрии реализуется в природе.

Теория гравитационного взаимодействия также основана на принципе калибровочной симметрии, а именно на принципе общей ковариантности. Согласно А. Эйнштейну, законы гравитации не должны меняться в зависимости от того, какие пространственно-временные координаты х^μ (μ = 0, 1, 2, 3) применяются для их описания. Иными словами, координаты х^μ можно заменить новыми переменными х’^μ, которые представляют собой четыре произвольные (но дифференцируемые) функции старых переменных:

x^μ = (t, x, у, z) → x’^μ(t, x, у, z).  (5)

Требование симметрии законов гравитации относительно преобразования (5) ведёт к общей теории относительности (смотри также Квантовая теория тяготения).

Во всех случаях калибровочная симметрия состоит в инвариантности физически наблюдаемых величин при преобразованиях, являющихся произвольными функциями пространственно-временных координат, т. е. функциями, которые могут меняться от точки к точке. Такая симметрия называется локальной, в противоположность глобальной симметрии, когда инвариантность имеет место только относительно единого во всём пространстве преобразования. Локальная симметрия, естественно, значительно мощнее глобальной.

Требование калибровочной симметрии позволяет практически однозначно сформулировать соответствующую теорию калибровочных полей. Поскольку теория задаётся лагранжианом или действием, необходимо построить калибровочно-симметричное действие, т. е. действие, инвариантное относительно преобразований (3), (4) для теории Янга - Миллса и квантовой электродинамики или преобразования (5) - для теории гравитации. Во всех случаях при построении инвариантного действия возникает понятие ковариантной производной, в которой обычная производная полей по времени и координатам сдвигается на калибровочное поле:

(6)

где δⁱ_j - единичная матрица. Отличительным свойством ковариантной производной является то, что при калибровочном преобразовании (4) она преобразуется однородно, т. е. просто «вращается» матрицей U: ∇_μ → U∇_μU^-1. Этим же свойством обладает любая цепочка из ковариантных производных и, в частности, коммутатор

(7)

Равенство (7) определяет антисимметричный тензор напряжённостей поля Янга-Миллса, представляющих собой обобщение электрической Е и магнитной Н напряжённостей электромагнитного поля. Следует отметить, что, в отличие от последних, напряжённость поля Янга-Миллса нелинейна по полям.

В случае абелевой калибровочной симметрии матрица калибровочного преобразования U сводится к фазовому множителю, поэтому напряжённости поля уже сами являются калибровочными инвариантами. В неабелевом случае это не так, тем не менее, из напряжённостей полей Янга-Миллса можно построить калибровочно-инвариантные величины. Примером выражения, не меняющегося при калибровочном преобразовании (4), является след от квадрата матрицы напряжённости, Τr(F_μνF_μν). Фактически именно это выражение и используется в качестве лагранжиана полей Янга-Миллса. Калибровочные поля Α_μ входят в этот лагранжиан во второй, третьей и четвёртой степенях; наличие третьей и четвёртой степеней указывает на взаимодействие полей Янга-Миллса между собой.

Чтобы построить калибровочно-инвариантный лагранжиан в теории гравитации, который был бы инвариантен относительно общей замены времени и координат (5), также вводят ковариантные производные

(8)

(где Г - символ Кристоффеля, или связность), коммутатор которых определяет тензор кривизны пространства-времени, или Римана тензор (смотри Риманова геометрия), являющийся аналогом тензора напряжённости поля Янга-Миллса:

(9)

Между уравнениями (6) и (8), а также (7) и (9) имеется прямая аналогия, поэтому поля Янга-Миллса называют иногда «связностью», а напряжённость поля - «кривизной». Так же, как для полей Янга - Миллса, калибровочно-инвариантный лагранжиан для гравитации можно построить из квадрата тензора кривизны, но в этом случае существуют инварианты меньшей размерности: это космологический член ∫d⁴x√-g и лагранжиан Эйнштейна - Гильберта ∫d⁴x√-gR, где R - скалярная кривизна, g - детерминант метрического тензора. Оба члена обладают калибровочной симметрией относительно преобразования (5) и поэтому допустимы (смотри Тяготение, Относительности теория).

Как в случае гравитационных полей, так и полей Янга-Миллса, некоммутативность калибровочных преобразований (4) и (5) приводит к взаимодействию полей друг с другом, причём вид этого взаимодействия однозначно фиксируется требованием калибровочной симметрии. Самодействие калибровочных полей представляет наибольшую трудность для теории.

Лит. смотри при ст. Калибровочные поля.

Д. И. Дьяконов.