Кардинальное число

КАРДИНАЛЬНОЕ ЧИСЛО (мощность по Кантору), характеристика множества, которая не меняется при переходе от этого множества к любому другому равномощному ему множеству. При этом множества А и В называются равномощными, если существует взаимно однозначное соответствие  f : А→ В  с областью определения А и множеством значений В. Г. Кантор (1878) определял кардинальное число множества А как такую его характеристику, которая получается после абстрагирования от природы элементов множества А и от их порядка. Чтобы подчеркнуть этот двойной акт абстрагирования, Кантор лля обозначения кардинального числа множества А использовал символ 

Из других обозначений кардинального числа множества А наиболее употребительны символы card А и |А|. Если А - конечное множество, содержащее n элементов, то card А = n. Если N - множество всех натуральных чисел (оно является счётным множеством), то card N обозначается 

Если R - множество всех действительных чисел (оно имеет мощность континуума), то card R обозначается с. Множество 2А всех подмножеств множества А не равномощно ни самому А, ни его подмножеству (теорема Кантора). В частности, никакие два из множеств

 (*)

не равномощны. При А = N получается бесконечно много различных кардинальных чисел. Другие кардинальные числа получаются, если обозначить Q объединение множеств, входящих в (*), и построить последовательность, аналогичную (*), взяв вместо А Q. Этот процесс можно продолжать бесконечно.