Касательная

КАСАТЕЛЬНАЯ КАСАТЕЛЬНАЯ к кривой линии, прямая, представляющая собой предельное положение секущей. Пусть М - точка кривой L (рисунок 1). На L выбирается вторая точка М’, и через них проводится секущая l’. Точка М считается неподвижной, а точка М’ приближается к М по кривой L. Если при неограниченном приближении М’ к М секущие l’ стремятся к определённой  прямой  l,  как бы М’  не  приближалась к М, то l называется касательной к кривой L в точке М. Не у всякой непрерывной кривой имеются касательные в каждой точке М, поскольку секущие могут не стремиться к предельному положению или могут стремиться к двум разным предельным положениям, когда М’ приближается к М с разных сторон (рисунок 2).

КАСАТЕЛЬНАЯ Встречающиеся в элементарной геометрии кривые имеют вполне определённые касательные во всех точках, кроме некоторого числа особых точек. Если кривая на плоскости в прямоугольных координатах определяется уравнением у = f(х) и f(х) дифференцируема в точке х0, то кривая имеет касательную  в  точке (х0 , f’x)) и  угловой коэффициент касательной в этой точке равен значению производной  f’(х); уравнение касательной в этой точке имеет вид

у -  f (x0) =  f’(x0)(x - x0).

Касательной (прямой) к поверхности S в точке М называют любую прямую, проходящую через точку М и лежащую в касательной плоскости к S в точке М.