Катастроф теория (в математике)

КАТАСТРОФ ТЕОРИЯ, математическое описание катастроф - скачкообразных изменений, возникающих в виде внезапного ответа системы на плавное изменение внешних условий; даётся теориями особенностей дифференцируемых (гладких) отображений Х. Уитни и бифуркаций А. Пуанкаре и А. А. Андронова. Название введено Р. Томом в 1972 году. Катастроф теория используется в геометрической и физической оптике, в теории элементарных частиц, в гидродинамике при расчётах устойчивости кораблей, в геологии, биологии, социологии, экономике, лингвистике, а также в медицине при исследовании биений сердца и психических расстройств, при моделировании деятельности мозга и т.д. Теория особенностей применяется, когда явление описывается гладким отображением и нет причин для нетипичности (например, симметрии).

Теория особенностей обобщает исследование экстремумов функций на случай нескольких функций любого числа переменных. Критической точкой функции у называется точка, в которой все первые частные производные равны нулю, ∂у/∂x_i = 0; критическая точка называется невырожденной, если матрица ∂²у/∂x_i∂x_j невырождена, т. е. её определитель отличен от нуля. У типичной функции все критические точки невырождены. Любая гладкая функция в окрестности каждой невырожденной критической точки приводится к одной из так называемых нормальных форм Морса, у = ±х²₁ ± ... ± х²_n + С, гладкой заменой независимых переменных. Эти невырожденные особенности устойчивы: например, всякая функция, достаточно близкая к у = х² (с производными), имеет в подходящей точке вблизи нуля подобную же особенность (невырожденную точку минимума). Все более сложные особенности неустойчивы. Например, вырожденная критическая точка функции у = х³ в нуле распадается на две критические точки при возмущении, превращающем х³  в х³ - εх.

Типичные отображения поверхности на плоскость (R² → R²) также имеют лишь устойчивые особенности, а именно  складку (у₁ = х²₁ ,  у₂ = х₂ либо cборку Уитни (у₁ =х³₁  + х₁х₂, у₂ = х₂). Сборка есть особенность проецирования поверхности у₁ =х³₁ + х₁х₂ из пространства (х₁, х₂, у₁) на плоскость (y₁, х₂) (рис. 1). Списки типичных особенностей отображений R³ → R³  и  R⁴ → R⁴  таковы:

1) у₁ = х²₁ , y_i = x_i (i > 1); 2) у₁ =х³₁ + х₁х₂, y_i = x_i (i > 1); 3) у₁ = х⁴₁ + х²₁ х₂ +х₁х₃, y_i = x_i (i > 1); 4) у₁ = х²₁ ± х²₂ +х₁х₃ + х₂х₄, у₂ = х₁х₂, y₃ = x₃, y₄ = x₄, 5) у₁ = х⁵₁ + + х³₁  х₂ + х²₁ х₃ + x₁x₄, y_i = x_i(i>1). Отображение R² → R³ обычно имеет особенностями лишь «зонтики» Уитни - Кэли (рис. 2; у₁ = х²₁ , у₂ = х₁х₂, y₃ = x₂).  При переходе к высшим размерностям списки типичных особенностей растут и даже становятся континуальными (например, не всякое отображение Rⁿ → Rⁿ при n > 8 аппроксимируется устойчивым). Число классов топологически различных особенностей остаётся конечным при любых размерностях.

В теории бифуркаций рассматривается динамическая система, описываемая уравнением х˙ = θ(x, ε), с заданным векторным полем θ в n-мерном фазовом пространстве {х}. Поле зависит от k-мерного параметра ε. Множество состояний равновесия определяет в (n + k)-мерном пространстве {х, ε} k-мерную поверхность θ(х, ε) = 0. В типичном случае эта поверхность гладкая, но её проекция на пространство «управляющих параметров» {ε} может иметь особенности. Если рассматривать значения {ε} как функции на поверхности состояний равновесия, то точки, в которых якобиан этих функций равен 0, называются бифуркационными, а значения функций в этих точках - бифуркационными значениями параметров ε. При подходе управляющих параметров к бифуркационным значениям положения равновесия «бифурцируют» (рождаются или умирают). Знание геометрии типичных особенностей позволяет описывать происходящие при этом явления, например скачкообразный переход системы к далёкому состоянию равновесия при плавном изменении параметров. Такие скачки способны разрушить систему (механическую, упругую, электрическую, биологическую, химическую и др.), откуда и название «теория катастроф».

Наибольший успех достигнут в приложениях катастроф теории к оптике, где не были известны даже типичные особенности каустик (смотри Каустическая поверхность) и перестройки волновых фронтов в трёхмерном пространстве. Рассмотрим возмущение (свет, звук, ударную волну, эпидемию и др.), распространяющееся с единичной скоростью из области, ограниченной гладким фронтом. Чтобы построить фронт через время t, нужно отложить отрезок длиной t на каждом луче нормали. Через некоторое время на движущемся фронте появляются особенности в точках каустики (огибающей семейства лучей) исходного фронта. Например, при распространении возмущения на плоскости внутрь эллипса особенности фронта скользят по каустике, имеющей 4 точки возврата (рис. 3). Эти особенности устойчивы (не исчезают при малой деформации исходного фронта). Типичные особенности фронтов в трёхмерном пространстве - это самопересечения, рёбра возврата (нормальная форма х² = у³) и ласточкины хвосты [рис. 4; эта поверхность образована точками (а, b, с), для которых многочлен х⁴ + ах² + bx + с имеет кратный корень]. Каустики в трёхмерном пространстве имеют особенности ещё двух видов (пирамида и кошелёк; рисунок 5).

Почти все особенности волновых фронтов можно описать как множества бифуркационных значений параметра μ, при которых возникают особенности отображения (х, μ) → μ гиперповерхности F(х, μ) = 0 в пространство μ, где F - типичное семейство гладких функций вектора х и векторного параметра μ. Типичные особенности каустик (или градиентных отображений х→∂S/∂х, или отображений Гаусса, сопоставляющих точке поверхности направление нормали) можно описать как множества бифуркационных значений параметра μ, при которых функция F (х, μ) переменной х имеет вырожденную критическую точку. Ласточкин хвост, пирамида и кошелёк получаются при

Особенностям каустик и фронтов геометрической оптики соответствуют в волновой теории особенности асимптотик осциллирующих интегралов в методе стационарной фазы или в многомерном перевала методе при слиянии нескольких стационарных точек. При подходе к точке каустики интеграл возрастает в λ^-ν раз,  где λ - длина волны, а показатель ν равен: 1/6 для общей точки каустики (А₂, особенность Эйри); 1/4 для общей точки ребра возврата (А₃ особенность Пирси); 3/10 для ласточкина хвоста (особенность А₄); 1/3 для кошелька и пирамиды (особенности D₄). Эти особенности связаны с простыми группами Ли А_k~SU(k + 1), D_k ~ O(2k), а также с правильными многогранниками [конечными подгруппами группы SU/(2)]. Показатель ν определяет интенсивность света вблизи каустики и её особенности, разрушение среды интенсивной волной, скопление частиц при движении пылевидной среды с потенциальным полем скоростей (с иным значением ν) и т. п. Универсальность геометрии бифуркационных диаграмм позволяет использовать их для моделирования многих различных по своему физическому смыслу явлений.

Лит.: Постон Т., Стюарт И. Теория катастроф и ее приложения. М., 1980; Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений. М., 1982-1984. Т. 1-2;    Арнольд В. И. Особенности, бифуркации и катастрофы // Успехи физических наук. 1983. Т. 141. № 12; он же. Теория катастроф. 5-е изд. М., 2007; Гилмор Р. Прикладная теория катастроф. М., 1984. Кн. 1-2.