Категорий теория

КАТЕГОРИЙ ТЕОРИЯ, раздел математики, изучающий такие свойства математических объектов, которые зависят от их отношений друг к другу. Категорий теория занимает важное место в современной математике, она также находит применение в информатике и теоретической физике.

Категория - понятие, выделяющее ряд алгебраических свойств совокупностей морфизмов (отображений) однотипных математических объектов (множеств, топологических пространств, групп и т. п.) друг в друга при условии, что эти совокупности содержат тождественные отображения и замкнуты относительно последовательного выполнения (композиции или умножения) отображений. Категория А состоит из класса ObA, элементы которого называются объектами категории, и класса MorA элементы которого называются морфизмами категории и обозначаются обычно Mor_A (А, В), А,В ∈ ObA. Входящее в определение категории понятие класса предполагает использование такой аксиоматики теории множеств, в которой различаются понятия множества и класса. Наиболее употребительной является аксиоматика Неймана - Бернсайда - Гёделя.

Основным в категорий теории является понятие функтора - отображения из категории А в категорию В, сопоставляющее объектам и морфизмам в А объекты и морфизмы в В. Каждой категории А может быть сопоставлена двойственная, или дуальная, категория А*, для которой ObA* = ObA и  Mor_A *(А, В) = Mor_A (В, А) для любых А,В ∈ ObA. Для каждого предложения категорий теории существует двойственное (дуальное) предложение, при этом справедлив так называемый принцип двойственности: предложение р истинно в категорий теории тогда и только тогда, когда в этой теории истинно двойственное предложение р*.

Примеры категорий. 1) Категория множеств Ens: класс Ob Ens состоит из всевозможных множеств, класс Mor Ens - из всевозможных отображений множеств друг в друга, а композиция совпадает с последовательным выполнением отображений. 2) Категория групп Gr: класс ObGr состоит из всевозможных групп, класс Mor Gr - из всех гомоморфизмов групп, а композиция совпадает с последовательным выполнением гомоморфизмов. 3) Полугруппа с единицей является категорией с одним объектом, и наоборот, каждая категория, состоящая из одного объекта, есть полугруппа с единицей.

Все перечисленные категории допускают изоморфное вложение в категорию множеств. Категории, обладающие этим свойством, называются конкретными категориями. Число примеров категорий можно значительно увеличить при помощи различных конструкций, и прежде всего при помощи категорий функторов или категорий диаграмм (отображение некоторого ориентированного графа в категорию).

Понятие категории было введено американскими учёными С. Эйленбергом и С. Маклейном (1945). Своим происхождением и первоначальными стимулами развития категорий теория обязана алгебраической топологии. Последующие исследования выявили объединяющую и унифицирующую роль понятия категории и связанного с ним понятия функтора для многих разделов математики. Теоретико-категорный анализ основ теории гомологий привёл к выделению в середине 1950-х годов, так называемых абелевых категорий, в рамках которых оказалось возможным осуществить основные построения гомологической алгебры. В 1960-е годы определился возрастающий интерес к неабелевым категориям, вызванный задачами логики, общей алгебры, топологии и алгебраической геометрии. Интенсивное развитие универсальной алгебры и аксиоматического построения теории гомотопий положили начало различным направлениям исследований: категорному изучению многообразий универсальных алгебр, теории изоморфизмов прямых разложений, теории сопряжённых функторов и теории двойственности функторов. В дальнейшем обнаружились существенные взаимосвязи между этими исследованиями. Например, была установлена двойственность между теорией гомотопий и теорией универсальных алгебр. В алгебраической геометрии существенно используются так называемые произвольные категории.

Лит.: Гротендик А. О некоторых вопросах гомологической алгебры. М., 1961; Букур И., Деляну А. Введение в теорию категорий и функторов. М., 1972; Цаленко М. Ш., Шульгейфер Е. Г. Основы теории категорий. М., 1974; Маклейн С. Категории для работающего математика. М., 2004.