Коммутативная алгебра

КОММУТАТИВНАЯ АЛГЕБРА, раздел алгебры, изучающий свойства коммутативных колец и связанных с ними объектов (смотри Колец теория).

Возникновение коммутативной алгебры связано с задачами чисел теории и алгебраической геометрии. Эти задачи, как правило, относились к конкретным классам колец. Одним из главных объектов теории чисел является кольцо целых рациональных чисел, и основной факт его арифметики состоит в том, что любое целое число разлагается в произведение простых чисел, например 60 = 2•2•3•5, причём разложение единственно с точностью до порядка и знаков сомножителей: 60 =  2•5•3•2 = (-2)•2(-3)•5 = ... В 1-й половине 19 века К. Гауссом, Э. Куммером и др. была обнаружена связь различных вопросов теории чисел с арифметикой некоторых расширений поля рациональных чисел. Изучению этих вопросов классическими методами мешало отсутствие однозначности разложения алгебраических чисел в произведение неразложимых множителей. Например, если рассматривать числа вида m+n√5, где m и n - любые целые (рациональные) числа, то (так же, как для обычных целых чисел) каждое такое число можно разложить в произведение далее неразложимых множителей, однако в этом случае нарушается единственность разложения. Так, число 9 (которое получается при m = 9, n = 0) допускает 2 различных разложения, 9 = 3•3 и 9 = (2 + √-5)(2-√-5), причём ни один из множителей 3, (2 + √-5), (2-√-5) далее разложить в произведение чисел вида m + n√-5 нельзя. Нарушения единственности разложения не будет, если свойство разложимости связывать не с числами, а с так называемыми идеалами. Идеалы вводятся в произвольных кольцах. В случае числовых колец идеалом называется совокупность чисел, принадлежащих числовому кольцу (а в случае произвольного кольца - совокупность его элементов), обладающая следующими свойствами: сумма и разность двух чисел (элементов) совокупности принадлежит этой совокупности; произведение числа (элемента) из этой совокупности на любое другое число (на любой другой элемент) кольца также принадлежит этой совокупности. Например, идеалы в кольце целых рациональных чисел - это в точности совокупности чисел, кратных какому-нибудь фиксированному целому числу. В случае числовых колец (таким является, например, рассмотренная выше совокупность чисел вида m + n√-5) идеал называется также идеальным числом. Любой идеал единственным образом разлагается в произведение неразложимых идеалов, которые называются простыми. Строгое и полное обоснование теории идеалов для любых числовых полей дали независимо друг от друга Р. Дедекинд (1871) и Е. И. Золотарёв (1877). Дальнейшая разработка теории идеалов связана с развитием общей теории колец.

Параллельно происходило формирование коммутативной алгебры внутри алгебраической геометрии. В начале своего развития алгебраическая геометрия изучала свойства алгебраических кривых на плоскости и, более общо, алгебраических многообразий в n-мерном пространстве, задаваемых как множество М общих нулей нескольких многочленов от n переменных. Поскольку многообразие М можно задавать и другими уравнениями, то более естественно с многообразием М связывать идеал всех многочленов, обращающихся в нуль на М. Это ещё один путь, приводящий к понятию идеала.

Интенсивное развитие коммутативной алгебры началось после публикации в 1890-х годах работ Д. Гильберта, получившего ряд фундаментальных результатов о кольце многочленов. К началу 20 века были получены результаты, относящиеся к кольцам алгебраических чисел и многочленов, однако конкретность исходных объектов мешала увидеть некоторые общие закономерности и связи. Развитие современной коммутативной алгебры связано также с возникновением теории р-адических чисел, послужившей толчком к систематическому изучению строения различных классов коммутативных колец. Другим источником развития коммутативной алгебры стала её геометризация, превратившая коммутативную алгебру в составную часть алгебраической геометрии. Это позволяет использовать в исследованиях геометрические методы.

Лит.: Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра. М., 1963. Т. 1; Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. М., 2003; Ван дер-Варден Б. Л. Алгебра. СПб., 2004.