Комплексное число

КОМПЛЕКСНОЕ ЧИСЛО, число вида х + iy, где х и у действительные числа, а i – так называемая мнимая единица (величина, квадрат которой равен -1); х называется действительной частью, а у - мнимой частью числа z = х + iy (обычно действительную часть числа z обозначают Re z, а мнимую – Im z). При у = 0 комплексное число z считают совпадающим с действительным числом х. При Х = 0, у ≠ 0 число z называется чисто мнимым. Комплексное  число х + iy и х - iy называются комплексно сопряжёнными. Арифметические действия над комплексным числом производятся по правилам действий над многочленами с использованием равенства i2 = -1. Свойства действий над комплексным числом такие же, как и над действительными числами, но для комплексного числа понятия «больше» и «меньше» не имеют смысла.

Любое уравнение хn + а1xn-1 + ... + аn =  0, где а1,...,аn - комплексное число, имеет в множестве комплексное число n корней (с учётом их кратности).

Геометрически комплексное число z = х + iy изображается точкой (х, у) в комплексной плоскости. Если полярные координаты точки (х, у) обозначить r и φ, т. е. r = √х2 + у2 - модуль числа z (его обозначают |z|), а φ - его аргумент, то z = х + iy можно представить в тригонометрической форме z = r (cos φ +i sin φ). Тригонометрическая форма удобна для умножения комплексного числа и извлечения корней, поскольку

Реклама

Комплексное число

Уже в древности в некоторых задачах сталкивались с квадратными корнями из отрицательных чисел, такие задачи считались неразрешимыми. Первые обоснования простейших действий с комплексными числами появились в 16 веке, но долгое время к ним относились с настороженностью. Задача об извлечении корня степени n из данного числа была в основном решена в работах А. де Муавра (1707, 1724) и английского математика Р. Котеса (1722). Термин «комплексное число» ввёл (1803) Л. Карно, но в употребление термин вошёл после работ К. Гаусса (1831). Широкое распространение комплексные числа получили к концу 18 века, значительную роль сыграло истолкование их как точек комплексной плоскости. Использование комплексных чисел придало законченный вид многим разделам математического анализа. Комплексные числа широко применяются в физике и технике (в гидродинамике, аэродинамике, электротехнике, атомной физике и пр.). В технической литературе мнимую единицу часто обозначают j.

Лит.: Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. 6-е изд. М., 2002.