Комплексный анализ

КОМПЛЕКСНЫЙ АНАЛИЗ, раздел математики, в котором изучаются аналитические функции комплексного переменного, их обобщения и связанные с ними объекты (конформные и голоморфные отображения, римановы поверхности и комплексные многообразия, гармонические функции, интегральные представления и преобразования). Основателем комплексного анализа считается Л. Эйлер, который в 18 веке использовал комплексные числа, комплексную плоскость и, по существу, применял комплексный анализ для решения задач анализа и механики. В 19 веке в трудах О. Коши, Б. Римана, К. Вейерштрасса и других математиков комплексный анализ получил строгое математическое обоснование и расширил круг своих задач и применений. В 20 веке методы комплексного анализа широко использовались, во многом благодаря работам российских математиков, в аэро-и гидродинамике, теории упругости, электростатике, математической и теоретической физике.

Универсальность комплексного анализа, позволяющая использовать его методы практически во всех областях математики и механики, стимулировала появление и развитие новых математических дисциплин. Так, исследования римановых поверхностей (естественных областей определения аналитических функций) породили современную алгебраическую геометрию и дифференциальную топологию, фундаментальные проблемы многомерного комплексного анализа привели к созданию современной алгебраической топологии (теория пучков и когомологий), изучение голоморфных кривых положило начало симплектической топологии, динамика римановых поверхностей стала основой современных направлений в теоретической физике.

Реклама

В развитии современного комплексного анализа выделяются две основные ветви: классический комплексный анализ (теория функций комплексного переменного) преимущественно с аналитическими методами исследований и многомерный комплексный анализ, в котором существенную роль играют геометрические методы.

Лит.: Стоилов С. Теория функций комплексного переменного. М., 1962. Т. 1-2; Владимиров В. С. Методы теории функций многих комплексных переменных. М., 1964; Голузин Г. М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. 2-е изд. М., 1966; Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. 2-е изд. М., 1967-1968. Т. 1-2; Ганнинг Р., Росси Х. Аналитические функции многих комплексных переменных. М., 1969; Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного. 14-е изд. М., 1999; Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. 6-е изд. М., 2002; Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. 4-е изд. СПб., 2004. Ч.1-2.

Е. М. Чирка.