Конгруэнций теория

КОНГРУЭНЦИЙ ТЕОРИЯ, раздел алгебры, в котором изучаются конгруэнции на универсальных алгебрах. Конгруэнцией на универсальной алгебре А называется отношение эквивалентности π на множестве элементов алгебры, перестановочное с любой из её операций. Это означает, что для любой операции ω с n переменными, заданной в А, если

a_iπb_i, a_i, b_i  ϵ A, i = 1,…, n,

то и

(a_1,…, а_nω)π(b₁,..., b_nω).

Конгруэнция π задаёт на множестве классов элементов, эквивалентных по отношению эквивалентности π, структуру универсальной алгебры. Эта алгебра обозначается А/π и называется факторалгеброй алгебры А по конгруэнции π. С конгруэнцией π связано отображение φ :А →А/π, φ (А) = А/π, ставящее в соответствие каждому элементу а ∈ А тот класс факторалгебры А/π, которому принадлежит элемент а. Обратно, всякий гомоморфизм φ:А→В однозначно определяет конгруэнцию, классами эквивалентности которой служат прообразы элементов множества В.

Лит.: Курош А. Г. Курс высшей алгебры. 11-е изд. М., 1975.