Конструктивная математика

КОНСТРУКТИВНАЯ МАТЕМАТИКА, раздел математики, изучающий конструктивные процессы, возможность их осуществления и результаты этих процессов - конструктивные объекты. В конструктивной математике систематически применяются две абстракции: абстракция потенциальной осуществимости и абстракция отождествления. Абстракцию потенциальной осуществимости используют, отвлекаясь от практических ограничений конструктивных возможностей в пространстве, времени и материале. Абстракция отождествления применяется, когда говорят о двух в том или ином смысле одинаковых объектах как об одном и том же объекте. В конструктивной математике не применяется характерная для теоретико-множественной математики абстракция актуальной бесконечности, связанная с рассмотрением никогда не завершаемых процессов как бесконечно продолженных и тем самым как бы завершённых.

Конструктивный процесс, результатом которого является объект, одинаковый с А, называется построением объекта А. Высказывания, связанные с возможностью осуществлять конструктивные процессы, в конструктивной математике часто формулируются в виде теорем существования, утверждающих, что существует объект, удовлетворяющий определённым требованиям. Под этим подразумевают, что построение такого объекта потенциально осуществимо, т. е. что имеется способ его построения. Это понимание теорем существования отличается от их понимания в теоретико-множественной математике, что приводит к необходимости построения для конструктивной математики своей логики, которая отличается от классической математической логики, использующейся в теоретико-множественной математике. Понятия конструктивного процесса и конструктивного объекта в конструктивной математике формально не определяются. В таких формальных определениях нет надобности, поскольку в конструктивной математике обычно имеют дело не с конструктивными процессами и конструктивными объектами вообще, а с определёнными видами тех и других.

Простейшими из конструктивных объектов являются слова в фиксированном алфавите, т. е. ряды букв этого алфавита (алфавит - это набор букв). Конструктивный процесс, результатом которого является слово, состоит в выписывании этого слова буква за буквой. Частным случаем слов являются натуральные числа, которые рассматриваются как слова в алфавите {0,1}, начинающиеся с нуля и не содержащие других вхождений нуля, то есть как слова 0, 01, 011, 0111, ... Добавляя к этому алфавиту знак «-» (минус) и знак «/» (дробь), получают возможность строить рациональные числа, как слова в алфавите {0, 1, -, /}. Таким образом, рациональные числа оказываются конструктивными объектами.

В рамках конструктивной математики возник вопрос о построении действительных чисел и вопрос о включении математического анализа в эти рамки. Эти вопросы были положительно решены на основе уточнённого понятия алгоритма. При этом несущественно, каким из известных уточнений этого понятия здесь пользоваться.

Конструктивной последовательностью рациональных (натуральных) чисел называется алгоритм, перерабатывающий всякое натуральное число в рациональное (натуральное) число. О конструктивной последовательности рациональных чисел U говорят, что она регулярно сходится, если для всякого натурального числа n соблюдается условие

Записи регулярно сходящихся последовательностей рациональных чисел называются конструктивными действительными числами (к.д.ч.). Равенство двух к.д.ч., порядковые отношения между ними, а также арифметические действия над ними и операции взятия абсолютной величины определяются естественным образом. Арифметические операции оказываются алгоритмическими: имеется, например, алгоритм, перерабатывающий всякую пару к. д. ч. в сумму этих к. д. ч. С другой стороны, невозможен алгоритм, распознающий к.д.ч. среди слов в алфавите {0,1}; невозможен алгоритм, распознающий равенство двух к. д. ч. На основе теории алгоритмов можно определить понятие конструктивной последовательности к. д. ч. Для всякой такой последовательности можно построить к.д.ч., не равное ни одному члену этой последовательности. Это конструктивный аналог теоремы Кантора о несчётности континуума. В конструктивной математике определяются понятия конструктивной сходимости конструктивной последовательности к. д. ч. в себе и к к. д. ч. Справедлива теорема полноты, утверждающая, что всякая конструктивная последовательность к.д.ч., конструктивно сходящаяся в себе, конструктивно сходится к некоторому к. д. ч. Однако существует пример, показывающий, что в конструктивной математике аналог известной теоремы о сходимости ограниченной возрастающей последовательности несправедлив.

Согласно определению, к. д. ч. суть слова в алфавите {0,1}. Алгоритмы над этим алфавитом можно применять к к.д.ч., что даёт возможность строить функцию от действительного переменного как алгоритм, перерабатывающий к.д.ч. в к.д.ч. При этом алгоритм должен перерабатывать равные к. д. ч. в равные к. д. ч. Алгоритм F над алфавитом {0, 1} есть конструктивная функция действительного переменного, если соблюдаются следующие условия: 1) F перерабатывает всякое к. д. ч., к которому он применим, в к. д. ч.; 2) всякий раз, когда F применим к какому-либо к.д.ч. х, он применим и ко всякому к.д.ч. у, равному х, и к.д.ч. F(х) и F(у) равны. На основе этого определения была разработана конструктивная теория функций действительного переменного, одним из наиболее интересных её результатов является теорема о непрерывности конструктивных функций: всякая конструктивная функция действительного переменного непрерывна всюду, где она определена. Вместе с тем в теории конструктивных функций не имеют место аналоги классических теорем Вейерштрасса и Кантора о непрерывных функциях на сегменте. В частности, были построены: 1) пример конструктивной (и потому непрерывной) неограниченной функции на сегменте [0,1]; 2) пример ограниченной на этом сегменте конструктивной функции, не имеющей точной верхней грани; 3) пример конструктивной функции, имеющей на сегменте [0, 1] точную верхнюю грань, но не достигающей её; 4) пример ограниченной на сегменте [0,1] конструктивной функции, не являющейся равномерной непрерывной ни на каком сегменте, содержащемся в сегменте [0, 1]. Эти результаты выявляют глубокое отличие конструктивного математического анализа от анализа теоретико-множественного.

Успешно разрабатываются многих разделы конструктивной математики: конструктивные теории дифференцирования и интегрирования, конструктивная теория метрических пространств, конструктивный функциональный анализ, конструктивная теория функций комплексного переменного и др.

Лит.: Кушнер Б. А. Лекции по конструктивному математическому анализу. М., 1973; Марков А. А., Нагорный Н. М. Теория алгорифмов. 2-е изд. М., 1996. По материалам статьи А. А. Маркова из БСЭ-3.