Корень (в математике)

КОРЕНЬ в математике,

1) степени n из числа а, число х такое, что хⁿ = а. Действие нахождения корня называется извлечением корня. В области действительных чисел существует ровно один корень нечётной степени из любого действительного числа, причём корень из положительного числа положителен, а из отрицательного отрицателен. Корень чётной степени из положительного числа имеет два значения, равные по абсолютной величине и противоположные по знаку. Корень чётной степени из отрицательного числа в области действительных чисел не существует, потому что чётная степень любого действительного числа положительна. Положительный корень степени n из положительного числа а называется арифметическим корнем и обозначается ⁿ√а (√а при n = 2). Второй, отрицательный корень, существующий при чётном n, обозначается ⁿ√а. Если же рассматриваются оба значения корня, то перед знаком радикала ставится двойной знак, например √4= +2. В этом случае говорят об алгебраических значениях корня. Существует ровно один арифметический корень данной степени из данного положительного числа. Для числа 0 существует ровно один корень любой степени и он равен 0.

В области комплексных чисел при а≠0 существует n различных корней степени n. Например, значениями ³√8 являются числа 2, -1 + i√3, -1 - i√3, где i - мнимая единица. Корень степени n из единицы, т. е. решение уравнения хⁿ = 1, можно записать в виде

Формулу для корней n-й степени из любого комплексного числа z = r (cos φ + i sin φ), r > 0, 0 ≤ φ < 2π, смотри в статье Комплексное число. Все эти корни находятся на комплексной плоскости в вершинах правильного n-угольника с центром в точке нуль, одна из вершин которого находится в точке ⁿ√r(cos(φ/n) + i sin(φ/n)).

К нахождению корней математиков древности приводили различные геометрические задачи. Среди вавилонских клинописных текстов (2-е тысячелетие до нашей эры) имеются описания приближённого нахождения корня и таблицы квадратных корней, а в египетских папирусах встречается и особый знак для извлечения корня. Древнегреческие математики установили несоизмеримость стороны квадрата с его диагональю (равной а√2, если а - его сторона), что позднее привело к открытию иррациональных чисел. Индийский учёный Ариабхата (5 век нашей эры) описал правила для извлечения квадратных и кубических корней. Омар Хайям, арабский учёный аль-Каши (15 век), немецкий математик М. Штифель (16 век) извлекали корни высших степеней, исходя из формулы для (а + b)ⁿ. Л. Эйлер дал сохранившие своё значение до наших дней приближённые способы извлечения корней. Квадратные корни из отрицательных чисел, встречавшиеся у Дж. Кардано и итальянского математика Р. Бомбелли в 16 веке, привели к открытию комплексных чисел. Об истории знака для корня смотри в статье Математические знаки.

2) Корни алгебраического уравнения

a₀xⁿ + а₁x^n-1 + ... +а_n = 0

- число с, которое при подстановке его вместо х обращает левую часть уравнения в нуль. Корень этого уравнения называется также корнем многочлена

f_n(x) = а₀хⁿ + а₁x^n-1 + ... +а_n.

Если число с является корнем многочлена f_n(х), то f_n(х) делится без остатка на х-с. Смотри также Алгебраическое уравнение.