Коши интеграл
КОШИ ИНТЕГРАЛ, интеграл вида
Здесь γ - простая замкнутая спрямляемая кривая (смотри Длина) в комплексной плоскости и f(t) - функция комплексного переменного t, аналитическая на γ и внутри γ. Если точка z лежит внутри γ, то Коши интеграл равен f(z). Таким образом, любая аналитическая функция может быть посредством Коши интеграла выражена через свои значения на замкнутом контуре. Коши интеграл был впервые рассмотрен О. Коши (1831).
Обобщением Коши интеграла являются интегралы типа Коши; они имеют тот же вид, но кривая γ может быть незамкнутой, а функция f(t) предполагается заданной лишь на γ и абсолютно интегрируемой на ней. Такие интегралы по-прежнему определяют функции, аналитические во всех точках z комплексной плоскости, не лежащих на γ. Если f и γ достаточно гладки, то при переходе точки z с одной стороны кривой γ на другую через точку t0 ∈ γ интеграл типа Коши испытывает скачок, равный f(t0). Подобные свойства (систематическое изучение которых было начато Ю. В. Сохоцким и продолжено югославским математиком Й. Племелем, И. И. Приваловым, Н. И. Мусхелишвили) делают интеграл типа Коши важнейшим средством решения краевых задач теории функций, встречающихся в комплексном анализе, механике, теории упругости, теории интегрируемых систем и асимптотическом анализе.
Лит.: Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного. 14-е изд. М., 1999.