Коши распределение

КОШИ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ, распределение вероятностей случайной величины Х, имеющее плотность

где - ∞ < μ < ∞ и λ>0 - параметры. Коши распределение унимодально и симметрично относительно точки х = μ, являющейся модой и медианой этого распределения [на рисунке а и б изображены графики плотности р(х; λ, μ) и соответствующей функции распределения F (х; λ, μ) при μ =1,5 и λ = 1]. Математическое ожидание Коши распределения не существует. Характеристическая функция Коши распределения равна e^{iμt - λ|t|}, - ∞ < t < ∞. Произвольное Коши распределение с параметрами μ и λ выражается через стандартное Коши распределение с параметрами 0 и 1 формулой

где

Если независимые случайные величины Х₁,...,Х_n имеют одно и то же Коши распределение, то их арифметическое среднее (Х₁ + ... + X_n)/n для любого n = 1,2, ... имеет то же самое распределение; этот факт был установлен С. Пуассоном (1830). Коши распределение является устойчивым распределением. Отношение X/Y независимых случайных величин Х и Y со стандартным нормальным распределением имеет Коши распределение с параметрами 0 и 1. Распределение тангенса tg Z случайной величины Z, с равномерным распределением на отрезке [-π/2, π/2], также имеет Коши распределение с параметрами 0 и 1. Коши распределение рассматривалось О. Коши (1853).