Кривизна

КРИВИЗНА, величина, характеризующая отклонение кривой (поверхности) от прямой (плоскости). Отклонение дуги ММ’ кривой L от касательной МТ в точке М (рис.) можно охарактеризовать с помощью, так называемой средней кривизны kcp этой дуги, равной отношению α/Δs величины α угла между касательными в точках М и М’ к длине Δs дуги ММ’. Для дуги окружности средняя кривизна в каждой точке равна величине, обратной радиусу этой окружности, и характеризует степень искривлённости окружности: с уменьшением радиуса увеличивается искривленность дуги. Предельное значение средней кривизны при стремлении точки М’ к точке М, т. е. при Δs→0, называется кривизной k кривой L в точке М:

Кривизна

Величину R = 1/k, обратную кривизне, обычно называют радиусом кривизны кривой L в точке М.

Если кривая L является графиком функции у = f(х), то кривизна k этой кривой в точке х может быть вычислена по формуле

Кривизна

Реклама

Кривизна k кривой L представляет собой, вообще говоря, функцию длины дуги s, отсчитываемой от некоторой точки М этой кривой. Если для двух плоских кривых L1 и L2 кривизны как функции длины дуги одинаковы, то кривые L1 и L2 конгруэнтны, т. е. они могут быть совмещены движением. Уравнение, задающее плоскую кривую с помощью кривизны k как функцию длины дуги, обычно называется натуральным уравнением этой кривой.

Для характеристики отклонения пространственной кривой L от плоскости вводят понятие кручения. Кривизна и кручение, заданные как функции длины дуги, определяют кривую L с точностью до положения в пространстве.

КривизнаОписание отклонения поверхности от плоскости может быть проведено следующим образом. Через нормаль в данной точке М поверхности проводят всевозможные плоскости. Сечения поверхности этими плоскостями называют нормальными сечениями, а кривизны нормальных сечений в точке М – нормальными кривизнами поверхности в этой точке. Максимальная и минимальная из нормальных кривизн в данной точке М называются главными кривизнами. Величины К = kk2 и Н = (k1 + k2)/2, где k1 и k2 – главные кривизны, называются соответственно гауссовой кривизной и средней кривизной поверхности в точке М. Эти кривизны поверхности определяют нормальные кривизны, поэтому они могут служить характеристиками отклонения поверхности от плоскости. В частности, если К = 0 и Н = 0 во всех точках поверхности, то она является плоскостью.

Гауссова кривизна не меняется при изгибаниях поверхности. Если, например, гауссова кривизна равна нулю во всех точках поверхности, то каждый достаточно малый её кусок может быть изгибанием сделан плоским. Гауссова кривизна на поверхности без обращения к объемлющему пространству составляет объект так называемой внутренней геометрии поверхности. Средняя кривизна связана с внешней формой поверхности.

Понятие кривизны обобщается на объекты более общей природы. Например, оно возникает в так называемых римановых пространствах (смотри Риманова геометрия), представляя собой меру отклонения этих пространств от евклидовых.

Лит.: Бляшке В. Дифференциальная геометрия и геометрические основы теории относительности Эйнштейна. М.; Л., 1935. Т. 1; Погорелов А. В. Дифференциальная геометрия. 6-е изд. М., 1974; Рашевский П. К. Кривизна // Рашевский П. К. Курс дифференциальной геометрии. 5-е изд. М., 2008.