Криволинейный интеграл

КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ, интеграл вдоль кривой (на плоскости или в пространстве). Различают криволинейные интегралы 1-го и 2-го рода (типа). Криволинейный интеграл 1-го рода возникает, например, в задаче о вычислении массы материальной кривой переменной плотности, он обозначается

где С – заданная кривая, ds – дифференциал её дуги, а f(М) – функция точки М на кривой (плотность). Этот интеграл представляет собой предел соответствующих интегральных сумм (смотри Интеграл). В случае плоской кривой С, заданной уравнением у = у(х), а≤х≤b, криволинейный интеграл 1-го рода сводится к интегралу по отрезку

Криволинейный интеграл 2-го рода возникает, например, в задаче о работе силового поля. В случае плоской кривой он имеет вид

где Р(х,у) и Q(х,у) - функции (компоненты поля), заданные на С. Он также является пределом соответствующих интегральных сумм. Криволинейный интеграл 2-го рода по замкнутой кривой часто обозначают

Криволинейный интеграл 2-го рода сводится к интегралу по отрезку по формуле

где х = х(t), у = у(t), α≤t≤β, - уравнение кривой С в параметрической форме, и к криволинейному интегралу 1-го рода по формуле

где φ – угол между осью ОХ и касательной к кривой, направленной в сторону возрастания длины дуги.

О связи криволинейного интеграла 2-го рода с двойными и поверхностными интегралами смотри в статьях Грина формулы и Стокса формула.

Криволинейный интеграл впервые встречаются у А. Клеро (1743), в общем виде их ввёл О. Коши (1825).

Лит.: Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа. 4-е изд. М., 2002. Т. 2; Фихтенгольц Г. М. Основы математического анализа. 6-е изд. СПб. [и др.], 2005. Ч. 2.