Квантовый газ

КВАНТОВЫЙ ГАЗ, газ, в котором существенна роль обменных взаимодействий, обусловленных неразличимостью (тождественностью) составляющих его частиц - атомов, молекул, электронов в металле и др. Физические свойства квантового газа зависят от типа статистики, которой подчиняются его частицы (Бозе - Эйнштейна статистике или Ферми - Дирака статистике); в связи с этим существуют бозе-газы и ферми-газы соответствующих частиц.

Газ следует рассматривать как квантовый при температурах Т меньше или порядка Т0 и/или концентрациях газа n больше или порядка n0, где Т0 и n0 - температура и концентрация вырождения соответственно. Значения Т0 и n0  для идеального газа можно приближённо оценить, исходя из условия перекрытия волновых функций соседних частиц. Для этого так называемая тепловая длина волны де Бройля λТ = h/pT (где pT - средний тепловой импульс частиц, h - постоянная Планка) должна стать примерно равной среднему расстоянию r̅ между частицами, которое в случае однородного пространственного распределения частиц связано с концентрацией частиц n соотношением  r̅≈ n-1/3.

Реклама

Согласно распределению Максвелла для идеального газа, pT ≈ (kTm)1/2, где k - постоянная Больцмана, Т - абсолютная температура газа, m - масса покоя частицы, и условие перехода газа в квантовый режим имеет вид (n2/3/mT)(h2/k)≈1; в этом случае при заданных значениях массы m и концентрации n температура вырождения T0≈(h2/k)(n2/3/m) одна и та же как для бозе-, так и для ферми-частиц. В случае бозе-газа фотонов с m = 0, частотой v и импульсом р = hv/с (где с - скорость света) условие вырождения имеет вид: λ ≈ n-1/3, где λ = h/р = с/v, но концентрация теплового излучения зависит от температуры: n ≈ (kT/ch)3, так что Т0 = hv/k.

При заданной концентрации n существенна зависимость Т0 от массы частиц m; так, газ электронов в металле (me ≈ 10-27 г) при характерном значении n ≈ 5∙1028 м-3 при комнатной температуре является квантовым газом (Т0≈5∙104 К), тогда как газы атомов и молекул при тех же условиях являются классическими (например, для Н2 с m ≈ 4∙103me температура Т0 ≈ 10 К). Ядерная материя (смесь протонов и нейтронов с концентрацией n ≈ 5∙1043 м-3) практически всегда является квантовым газом с Т0≈5∙1011 К.

Вблизи температуры вырождения Т0 (но несколько выше неё) квантовый газ является слабовырожденным. В этом случае свойства квантового газа приближённо описываются с помощью обменного взаимодействия Ф±(r;T)≈±ехр[-(r/λT)2], отражающего кинематические, или симметрийные, свойства двух частиц газа, расположенных на расстоянии r друг от друга. Тепловая длина волны λТ играет роль эффективного радиуса этого взаимодействия, которое заметно проявляется лишь при r/λТ≤1. Знаки плюс и минус в Ф±(r;Т) соответствуют эффективному отталкиванию (для ферми-газа) и притяжению (для бозе-газа); для ферми-частиц в этом отталкивании находит динамическое проявление принцип Паули, запрещающий нахождение двух частиц в одном состоянии. Благодаря обменному взаимодействию квантовый газ фактически перестаёт быть идеальным, причём в случае бозе-газа за счёт взаимного притяжения частиц при температуре вырождения Т0 возникает Бозе - Эйнштейна конденсация. Для ферми-газа величина Е0 = kT0 представляет собой так называемую граничную (максимальную) ферми-энергию одной частицы при заданных значениях массы m и концентрации n. Так, для электронов в металле Е0 ≈ 5 эВ, для    ядерной    материи   Е0 ≈ 27 МэВ.

Вид уравнений состояния (термического уравнения Клапейрона и калорического закона равнораспределения) для слабовырожденного идеального квантового газа мало отличается от вида соответствующих уравнений для классического газа. Квантовые поправки к этим уравнениям в случае квантового газа выражаются в виде разложений по степеням отношения Т0/Т (или n/n0) и имеют разные знаки для идеальных бозе- и ферми-газов. Так, поправки к давлению и внутренней энергии положительны для ферми-газа и отрицательны для бозе-газа, тогда как поправки к теплоёмкости этих квантовых газов имеют противоположные знаки.

По мере понижения температуры Т относительно Т0 (при Т/Т0 << 1) физические свойства квантового газа всё больше отличаются от свойств того же газа в классическом режиме, причём максимальное отличие между ними имеет место при Т = 0. Существенно, что при Т = 0 энергия Е и давление Р бозе-газа равны нулю, тогда как для ферми-газа Р0=(2/3)nЕ0≈h2(n5/3m)   может быть весьма велико. Например, для газа электронов в металле Р0 ≈ 2,5 ГПа. Напротив, при высоких температурах (при Т/Т0 >> 1) тепловая длина волны де Бройля λТ ≈ h/(kTm)1/2 стремится к нулю, т. е. у частиц газа исчезает волновой аспект, а сохраняется лишь корпускулярный, и Ф±(r;Т) → 0. В этом случае интенсивное тепловое движение «размывает» квантовые (обменные) корреляции и «стирает» различия между частицами, подчиняющимися различным статистикам (Бозе - Эйнштейна, Ферми - Дирака или Максвелла - Больцмана), переводя газ из квантового режима в классический. В случае неидеального квантового газа количественное описание его свойств существенно усложняется, поэтому законченная теория таких физических объектов пока не создана.

Лит.: Хуанг К. Статистическая механика. М., 1966; Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Статистическая физика. 5-е изд. М., 2005. Ч. 1.

Ю. Г. Рудой.