Лапласа преобразование

ЛАПЛАСА ПРЕОБРАЗОВАНИЕ, преобразование, переводящее функцию f(t) действительного переменного t, 0 < t < ∞, называемую оригиналом, в функцию

Лапласа преобразование

комплексного переменного р = σ + iτ, называемую изображением. Под Лапласа преобразованием понимают не только само преобразование, но и его результат - функцию F(р). Интеграл в правой части (1) называют интегралом Лапласа. Он был рассмотрен П. Лапласом в ряде работ, которые объединены в его книге «Аналитическая теория вероятностей» (1812). Ранее такие интегралы применял к решению дифференциальных уравнений Л. Эйлер (1737).

При некоторых условиях по Лапласу преобразованию можно однозначно восстановить функцию f(t), в простейших случаях - по формуле обращения

Лапласа преобразование

Лапласа преобразование  является линейным функциональным преобразованием. К основным свойствам Лапласа преобразования относятся равенства

Реклама

Лапласа преобразование

Лапласа преобразование в сочетании с формулой обращения (2) применяется при решении дифференциальных уравнений. Так, в силу линейности отображения (1) и свойства (3) Лапласа преобразования решения обыкновенного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами удовлетворяет алгебраическому уравнению первого порядка и может быть легко найдено. Например, если дано уравнение у"+у =  f(t) с начальными условиями у(0) =  y/’(0) = 0 и Y(р) = L[у], F(р) = L[f], то L[у"]=р2Y(р) и р2Y(р) + Y(р) =  F(р), что приводит к равенству Y(р) =  F(р)/(р2 + 1).

Современная общая теория Лапласа преобразования строится на основе интегрирования по Лебегу. Для применимости Лапласа преобразования к функции f(t)  необходимо, чтобы f(t)  была интегрируема по Лебегу на любом конечном интервале (0, t), t > 0, и интеграл (1) сходился хотя бы в одной точке р0 = σ0 + iτ0. Если интеграл (1) сходится в точке р0, то он сходится во всех точках р, для которых Re р > Re р0. Если интеграл (1) сходится хотя бы в одной точке плоскости р0, то либо он сходится во всей плоскости, либо существует такое число σс, что при Re р > σс интеграл (1) сходится, а при Re р < σс расходится. Число σс называется абсциссой сходимости интеграла Лапласа, Р(р) является аналитической функцией в полуплоскости Re р > σс.

С использованием Лапласа преобразования решаются многие задачи электротехники, гидродинамики, механики, теплопроводности. Лапласа преобразование нашло широкое применение в операционном исчислении.

Лит.: Деч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа. М., 1965.