Варинга проблема

ВАРИНГА ПРОБЛЕМА, проблема о представимости каждого целого положительного числа суммой ограниченного числа одних и тех же степеней целых неотрицательных чисел. Варинга проблема сформулирована Э. Варингом (1770) в следующем виде: доказать, что каждое натуральное число является суммой не более четырёх квадратов, девяти кубов, девятнадцати биквадратов и так далее. Современная формулировка Варинга проблемы: при любом натуральном числе n ≥ 2 существует натуральное число k = k(n) такое, что каждое натуральное число N представляется суммой k слагаемых вида x_n, где х - неотрицательное целое число. Это утверждение обобщает теорему Лагранжа о том, что каждое натуральное число есть сумма четырёх квадратов целых чисел (1770). В общем виде, то есть при любом n ≥2, решение Варинга проблемы получено Д. Гильбертом (1909). Частные решения Варинга проблемы (при n≤10) были известны до 1909 года. В 1920 году новое решение Варинга проблемы, отличное от решения Гильберта, дали Г. Харди и Дж. Литлвуд на основе созданного ими (совместно с С. Рамануджаном) кругового метода. В 1934 году И. М. Виноградов на основе своего метода тригонометрических сумм получил близкие к окончательным ответы на вопросы, поставленные Харди и Литлвудом о поведении функции k = k(n).

Лит.: Виноградов И. М. Избранные труды. М., 1952; Хуа Логен. Метод тригонометрических сумм и его применения в теории чисел. М., 1964; Гильберт Д. Избранные труды. М., 1998. Т. 1.