Вероятность

ВЕРОЯТНОСТЬ математическая, числовая характеристика возможности появления какого-либо определённого события в тех или иных определённых условиях, которые могут повторяться неограниченное число раз. Понятие «вероятности» отражает особый тип связей между явлениями, характерных для массовых процессов, и лежит в основе особого класса закономерностей - вероятностных или статистических.

Численное значение вероятности в некоторых случаях может быть получено из классического определения вероятности как отношение числа случаев, благоприятствующих данному событию, к общему числу равновозможных случаев. Например, если из 10 миллионов лотерейных билетов, на которые в одном тираже должен выпасть один выигрыш максимального размера, в данном городе размещено 500 тысяч билетов, то вероятность того, что максимальный выигрыш достанется жителю данного города, равна 500 000/10000000 = 1/20.

В других, более сложных случаях определение численного значения вероятности требует статистического подхода. Например, если при 100 выстрелах стрелок попал в цель 39 раз, то можно думать, что для него вероятность попадания в цель при данных условиях приблизительно равна 4/10.

Вероятностей теория позволяет по вероятности одних случайных событий определённым, например классическим или статистическим, способом находить вероятности других случайных событий, связанных каким-либо образом с исходными. Например, если вероятность попадания при отдельном выстреле равна 4/10, то вероятность того, что при четырёх выстрелах будет хотя бы одно попадание, равна 1 - (1 - 4/10)⁴ ≈ 0,87. Этот вывод может быть проверен статистически: если попытки поразить цель хотя бы одним выстрелом из четырёх будут повторяться много раз, то они будут иметь успех приблизительно в 87 случаях из ста (в предположении, что за это время искусство стрелка не изменится заметным образом).

Математическая вероятность является выражением качественно своеобразной связи между случайным и необходимым. При изложении теории вероятностей формулируются в виде аксиом те свойства вероятности, которые на данном этапе состояния науки необходимы для её развития. Однако ни эти аксиомы, ни классические, ни статистические определения вероятности не дают исчерпывающего определения реального содержания понятия «вероятности»; они являются лишь известными приближениями ко всё более полному его раскрытию. Далеко не всякое событие, наступление или ненаступление которого при заданных условиях не является достоверным, имеет при этих условиях определённую вероятность. Предположение, что при данных условиях для данного события вероятность, то есть вполне определённая «нормальная» доля (частота) числа появлений данного события при большом числе повторений данных условий, существует, является гипотезой, которая в каждом отдельном вопросе требует специальной проверки или обоснования. Например, имеет смысл говорить о вероятности попадания в цель заданных размеров, с заданного расстояния из винтовки известного образца стрелком, вызванным наудачу из определённого воинского подразделения. Однако было бы бессмысленно говорить о вероятности попадания в цель, если об условиях стрельбы ничего не известно.

По поводу связи вероятности с частотой надо иметь в виду следующее: при большом числе n повторений заданных условий доля числа случаев m, в которых данное событие появится, то есть частота m/n, как правило, мало отличается от его вероятности р. Чем больше число повторений n, тем реже встречаются сколько-нибудь значительные отклонения частоты m/n от вероятности р. Для пояснения этого обстоятельства рассмотрим пример бросания монеты, в котором вероятность появления «орла» и «решки» одинаковы и равны 1/2. При десяти бросаниях (n= 10) появление десяти «орлов» или десяти «решек» маловероятно. Но и утверждать, что «орёл» выпадает ровно 5 раз, нет достаточных оснований; более того, утверждать, что «орёл» выпадет 4, 5 или 6 раз, довольно рискованно (вероятность этого события равна 0,6563). Однако при ста бросаниях монеты можно уже без практически ощутимого риска утверждать, что число выпавших «орлов» будет лежать между 40 и 60 (вероятность этого события равна 0,9648; смотри Больших чисел закон).

Математическая вероятность может служить для оценки вероятности события в обычном, житейском смысле, то есть для уточнения так называемых проблематических суждений, выражающихся обычно словами «возможно», «вероятно», «очень вероятно» и т.п. По поводу этих оценок следует иметь в виду, что в применении к любому определённому суждению, которое на самом деле может быть только истинным или ложным, оценка его вероятности имеет лишь временный или же субъективный смысл, то есть выражает лишь наше отношение к делу. Например, если кто-либо, не имея по этому поводу специальных сведений, захочет представить себе вид окрестностей Москвы 23 марта 1930, то он скажет: «Вероятно, в этот день на полях лежал снег». Однако на самом деле в 1930 году снег под Москвой к 22 марта уже сошёл с полей. Выяснив это обстоятельство, мы должны будем отменить первоначальную оценку, выраженную заключённым в кавычки проблематическим суждением. Тем не менее, эта оценка, оказавшаяся в применении к данному индивидуальному случаю ошибочной, основана на верном общем правиле: «В начале двадцатых чисел марта на полях под Москвой по большей части лежит снег». Это правило отражает объективные свойства климата Подмосковья. Такого рода правила можно выражать, указывая уровень вероятности интересующего нас события при тех или иных общих, осуществимых неограниченное число раз условиях. Эти оценки уже имеют объективный смысл. Поэтому употребление расчёта вероятности для подтверждения наших оценок степени надёжности тех или иных утверждений, относящихся к отдельным индивидуальным событиям, не должно давать повода к мнению, что математическая вероятность является только числовым выражением нашей субъективной уверенности в наступлении некоторого события. Такое субъективное понимание смысла математической вероятности является ошибочным. При последовательном развитии оно приводит к абсурдному утверждению, что из чистого незнания, анализируя одни лишь субъективные состояния нашей большей или меньшей уверенности, мы можем сделать какие-либо определённые заключения относительно внешнего мира.

Описанное выше употребление расчёта вероятности для оценки ситуации в отдельных индивидуальных случаях неизбежно приводит к вопросу о том, какими вероятностями можно пренебрегать на практике. Этот вопрос решается по-разному, в зависимости от того, насколько велика необходимость быстрого перехода от накопления надёжных данных к их действенному употреблению. Например, если при данных условиях стрельбы теоретический расчёт приводит к тому, что поставленная боевая задача будет решена данным числом выстрелов с вероятностью 0,95 (т. е. вероятность того, что назначенного числа снарядов не хватит, равна 0,05), то обычно считают возможным исходить при руководстве боевыми операциями из предположения, что назначенное число снарядов окажется достаточным. В более спокойной обстановке научных исследований принято пренебрегать лишь вероятностью в 0,003 (это связано с так называемым правилом трёх сигм), а иногда требовать ещё большего приближения вероятности отсутствия ошибки к единице. В математической статистике вероятностью, которой решено пренебрегать в данном исследовании, называют значимости уровнем. В статистике обычно рекомендуют пользоваться уровнями значимости от 0,05 при предварительных ориентировочных исследованиях до 0,001 при окончательных серьёзных выводах, однако часто достижима значительно большая достоверность вероятностных выводов. Например, основные выводы статистической физики основаны на пренебрежении вероятности, меньшими 10^-10.

В основе математических моделей, используемых в теории вероятностей, лежат три понятия: множество Ω так называемых элементарных событий, класс А подмножеств Ω (событий) и определённая на этом классе функция множеств Р - распределение вероятностей (или вероятностная мера). Значение Р(А) функции Р для события А называют в этом случае вероятностью события А.

Лит.: Колмогоров А.Н. Основные понятия теории вероятностей. 2-е изд. М., 1974.