Ветвящийся процесс

ВЕТВЯЩИЙСЯ ПРОЦЕСС, общее название случайных процессов, описывающих широкий круг явлений, связанных с размножением и превращением каких-либо объектов в другие (например, частиц в физике, молекул в химии, особей в популяциях в биологии). Основным математическим предположением, выделяющим ветвящийся процесс из всего класса случайных процессов, является предположение независимости превращений объектов друг от друга. Простейший ветвящийся процесс связан с задачей о вырождении фамилий. Фамилия передаётся от отца к сыну. Пусть имеется один прародитель - основатель фамилии. Далее эта фамилия переходит к его сыновьям, его внукам из семей сыновей и т. д. Пусть Z(t) - число потомков прародителя по мужской линии в t-м поколении. Тогда число сыновей Ζ(1), число внуков Ζ(2) по мужской линии составляют генеалогическое дерево потомков - носителей фамилии прародителя. Если в некотором поколении Z(t) = 0, то фамилия вырождается. Математической моделью последовательности Ζ(t), t = 0, 1, 2..., будет ветвящийся процесс, если предположить, что число сыновей каждого носителя фамилии из генеалогического дерева является случайной величиной, эти случайные величины независимы (смотри Независимость в теории вероятностей) и имеют одинаковые распределения вероятностей. Если среднее число сыновей одного отца А ≤ 1, то вероятность q вырождения ветвящегося процесса равна 1. Если А > 1, то вероятность q < 1. В этом случае с вероятностью 1 - q > 0 все Z(t) ≥ 1, t = 1, 2 ... . Другой пример ветвящегося процесса связан с процессами размножения частиц нескольких типов. Пусть Z_j(t), j = 1, 2, ..., n, равно числу частиц j-го типа в момент времени t; каждая частица j-го типа с некоторыми вероятностями превращается независимо от других частиц в совокупности частиц разных типов в последующие моменты времени. Время t можно понимать либо как номер поколения частиц (дискретное время), либо как непрерывное время. Поведение при больших t средних A_j(t) чисел частиц Ζ_j(t) определяет характер эволюции ветвящегося процесса (Ζ₁(t), Ζ₂(t),..., Ζ_n(t)) с конечным числом типов частиц. Если при больших t все A_j(t) →0, ветвящийся процесс называется докритическим и вероятность его вырождения q=1; если же некоторые A_j(t) растут как показательные функции, ветвящийся процесс будет надкритическим и вероятность его вырождения q < 1. В критическом ветвящемся процессе A_j(t) может расти степенным образом, но вероятность вырождения q=1.

Задача о вырождении фамилии рассматривалась в последней четверти 19 века в работах английских статистиков Ф. Гальтона и Дж. Н. Ватсона. Определение ветвящегося процесса с конечным числом типов частиц и сам термин «ветвящийся процесс» впервые введены А. Н. Колмогоровым и Н. А. Дмитриевым (1947). С тех пор этот термин стал общепринятым. В многочисленных публикациях подробно изучены ветвящиеся процессы, в которых размножение частиц зависит от некоторых параметров (например, от возраста, размера или энергии), а также от их положения в пространстве и от момента времени размножения. В общей модели ветвящегося процесса предполагается также, что частица может производить потомство несколько раз на протяжении своей жизни. В моделях ветвящегося процесса в так называемой случайной среде частицы размножаются, хотя и независимо друг от друга, но при этом испытывают влияние общего для всех частиц состояния случайной среды. При исследованиях асимптотического поведения распределения вероятностей числа частиц Z(t) при больших t используются разнообразные математические методы теории вероятностей и математической статистики, а также методы теории дифференциальных уравнений, нелинейных интегральных уравнений и функционального анализа.

Различные модели ветвящегося процесса находят применение при расчётах реальных биологических, генетических, экологических, физических, химических и технических процессов. В реальных процессах часто нарушается условие независимости размножения различных объектов; наоборот, размножение обычно связано с взаимодействием особей или частиц между собой. Так обстоит дело во многих биологических процессах размножения, в процессах распространения эпидемии, в цепных химических реакциях и тому подобное. Однако начальные стадии развития таких процессов иногда можно рассчитывать с помощью соответственно подобранных моделей ветвящегося процесса. Это можно делать в тех случаях, когда в среде имеется не очень много активных частиц, которые при малых концентрациях почти не встречаются друг с другом, а изменения состояния системы происходят при встречах этих активных частиц с частицами среды. В процессах распространения эпидемии, например, «активными частицами» можно считать больных индивидуумов. В генетике с помощью ветвящегося процесса можно рассчитывать явления, связанные с мутациями. Ветвящийся процесс с конечным числом типов частиц может служить математической моделью при расчётах цепных реакций; ветвящийся процесс с диффузией частиц в ограниченной области - моделью процессов, протекающих в ядерных реакторах. Явления, возникающие в ливнях космических лучей, также могут изучаться с помощью ветвящегося процесса. В телефонии расчёт некоторых систем с ожиданием также можно сводить к моделям ветвящегося процесса.

Лит.: Колмогоров А. Н., Дмитриев Н. А. Ветвящиеся случайные процессы // Доклады Академии Наук СССР. 1947. Т. 56. №1; Севастьянов Б. А. Ветвящиеся процессы. М., 1971; Athreya К. В., Ney Р. Е. Branching processes. В., 1972; Ватутин В. А., Зубков А. М. Ветвящиеся процессы // Итоги науки и техники. Сер. Теория вероятностей. Математическая статистика. Теоретическая кибернетика. М., 1985. Т. 23; idem. Branching processes. II. Probability theory and mathematical statistics, 1 // Journal of Soviet Mathematics. 1993. Vol. 67. №6.