Вычет
ВЫЧЕТ,
1) в теории чисел. Вычет по модулю m (m - натуральное число) - любое число из множества всех целых чисел, дающих одинаковые остатки при делении на m. Все целые числа, по отношению к заданному натуральному числу m, распадаются на m различных классов: к одному классу относят те числа, которые при делении на m дают один и тот же остаток. Например, числа ..., -9, -2, 5, 12, 19, ... при делении на 7 дают остаток 5, то есть образуют один класс вычета по модулю 7, любое число из этого класса является вычетом по модулю 7. Таким образом, наименьший неотрицательный вычет из заданного класса равен остатку от деления любого числа из этого класса на m. Если взять из каждого класса по одному вычету, то получится совокупность чисел, которая называется полной системой вычетов по модулю m. Например, если m = 10, то каждая из совокупностей (0, 1, ..., 9), (-5, -4, ..., 3, 4), (-4, -3, ..., 4, 5) образует полную систему вычетов по модулю 10. Все числа полной системы вычетов, взаимно простые с модулем m, образуют совокупность, которая называется приведённой системой вычетов по модулю m. Например, приведённой системой вычетов по модулю 10 является каждая из совокупностей (1, 3, 7, 9), (-3, -1, 1, 3).
Реклама
Если а и b принадлежат одному классу вычетов по модулю m, то говорят, что а сравнимо с b по модулю m и пишут а = b(mod m). Это соотношение называется сравнением. Сравнения по модулю m обладают многими свойствами равенств: их можно почленно складывать, вычитать, перемножать; они обладают также свойствами, которых нет у равенств. Число а, взаимно простое с m, называется вычетом степени n, где n - натуральное число, n ≥ 2, если найдётся такое b, что а = bn(mod m) (степенной вычет); в противном случае а называется невычетом степени n по модулю m. Вычеты (невычеты) степени n = 2 называются квадратичными, степени n = 3 - кубическими, степени n = 4 - биквадратичными. Например, если m = 7, то числа 1, 2, 4 -квадратичные вычеты, а числа 3, 5, 6 - квадратичные невычеты по модулю 7, числа 1, 6 - кубические вычеты, а числа 2, 3, 4, 5 - кубические невычеты по модулю 7.
Лит.: Виноградов И. М. Основы теории чисел. 11-е изд. СПб., 2006.
А. А. Карацуба.
2) Вычеты в теории функций комплексного переменного. Вычетом голоморфной функции f в изолированной особой точке z0, z0 ≠ ∞, называется коэффициент при (z -z0)-1 в разложении функции f в ряд по целым степеням z-z0 (см. Лорана ряд) в окрестности точки z0. Обычно вычеты функции f в точке z0 обозначается resz0 f. Если γ - окружность достаточно малого радиуса с центром в точке z0 такая, что в ограниченном ею круге функция f не имеет особых точек, отличных от z0, причём у ориентирована против часовой стрелки, то
Пусть D - область комплексной плоскости с кусочно-гладкой границей Г, ориентированной так, что при движении по Г область D остаётся слева. Если z1, ..., zn - все особые точки функции f в области D, причём f голоморфна к D и в некоторой окрестности Г, то
Поскольку вычеты находятся сравнительно просто, эта теорема является эффективным средством для вычисления интегралов.
Лит.: Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного. 14-е изд. М., 1999.
П. В. Парамонов.