Жордана кривая

ЖОРДАНА КРИВАЯ, множество точек М(х,у) плоскости, координаты которых определяются равенствами х = φ(t), у = ψ(t), где φ и ψ - непрерывные функции аргумента t на некотором отрезке [а, b]. Иначе говоря, Жордана кривая есть непрерывный образ отрезка [а, b]. Это определение является одним из возможных строгих определений понятия непрерывной кривой. Однако Жордана кривая может иметь мало общего с интуитивным представлением о кривой как о «тонкой нити». Например, Жордана кривая может проходить через все точки некоторого квадрата (смотри Пеано кривая).

Если точки М(х,у) Жордана кривой, соответствующие различным значениям t, различны между собой, то Жордана кривая называется простой дугой. Иными словами, простая дуга есть Жордана кривая без кратных точек. Простая дуга является гомеоморфным образом отрезка, то есть может быть получена из отрезка с помощью взаимно однозначного непрерывного отображения, обратное к которому также непрерывно. Если же точки Жордана кривой, соответствующие t = а и t = b, совпадают, а все остальные точки различны между собой и отличны от М(φ(а), ψ(а)), то Жордана кривая называется простым замкнутым контуром. Такая Жордана кривая является гомеоморфным образом окружности.

М. Э. К. Жордан, именем которого названа Жордана кривая, доказал (1882), что всякий простой замкнутый контур делит плоскость на две области, из которых одна является внутренней по отношению к этой кривой, а другая - внешней. Это предложение носит название теоремы Жордана.

С. Б. Стечкин.