Алгебра Множеств

АЛГЕБРА МНОЖЕСТВ непустая система подмножеств данного множества, замкнутая относительно некоторого набора операций. Впервые алгебры множества введены Дж. Булем (1847). Обычно имеется в виду замкнутость относительно булевых операций объединения, пересечения и дополнения; в этом случае алгебра множеств называется булевой алгеброй, иногда - полем множеств. Примером алгебры множеств является алгебра всех подмножеств данного множества Х, обычно обозначаемая 2Х; всякая конечная булева алгебра множеств изоморфна алгебре такого вида. Булева алгебра множеств, замкнутая относительно счётных объединений, называется σ-алгеброй множеств. Примерами σ-алгебр являются алгебра 2Х, алгебра измеримых по Лебегу множеств и алгебра борелевских множеств на прямой. Рассматриваются также алгебры множеств с другими операциями, например топобулевы алгебры - булевы алгебры подмножеств топологических пространств с операциями замыкания и образования внутренности; гейтинговы, или псевдобулевы, алгебры - алгебры открытых подмножеств топологических пространств с операциями пересечения, объединения и импликации.

Алгебры множества широко используются в различных областях математики, например в вероятностей теории, дискретной математике, функций теории.

В. Б. Шехтман.