Алгебраическая К-Теория

АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ К-ТЕОРИЯ, изучает так называемые К-группы, K_n(R), n = 0, 1, ..., определённые для любого кольца R.

Группа К₀(R) введена французским математиком А. Гротендиком (1957). Её образующими являются классы изоморфизма [Р], |Q|, ... конечно-порождённых модулей Р, Q, ... над кольцом R (смотри в статьях Модуль, Гомологическая алгебра). Порождающие соотношения группы К₀(R) имеют вид [Р] + [Q| = [ΡθQ]. В случае, когда R - поле или кольцо многочленов над полем, группа К₀(R) является кольцом целых чисел Z.

Группа К₁(R), называемая группой Уайтхеда (введена американским математиком Дж. Уайтхедом, 1950), совпадает с фактор-группой группы GL(R) всех матриц с коэффициентами из R по подгруппе Е(R), порождённой элементарными матрицами, то есть матрицами, отличающимися от единичной в одном единственном недиагональном члене. Если R - поле, то К₁(R) совпадает с мультипликативной группой R* поля R.

Группа К₂(R) введена Дж. Милнором (1971), она совпадает с группой всех нетривиальных соотношений между элементарными матрицами. Если R - поле, то группа К₂(R) порождается символами {а, b} (а, bЄR*), подчинёнными соотношениям

{а₁, а₂, b} = {а₁ b} + {а₂, b),

{а, b₁, b₂} = {а, b₁} + {а, b₂)

и {а, 1 - а} = 0 для а, не равных 0 и 1.

Группы K_n(R) для всех n≥ 0 построены американским математиком Д. Куилленом (1972). Ранее Милнор определил K_n(R) для полей, задав их символами {а₁..... a_n}, a_i ЄR*, которые билинейны по каждому аргументу и {а₁  a_n} = 0, если a_i + a_i+1 = 0 для некоторого i. Группы Милнора не совпадают с группами Куиллена.

С помощью К-групп решены многие трудные проблемы, не поддававшиеся решению с использованием других методов. Введённая А. Гротендиком группа К₀(R) была им использована для доказательства и значительного обобщения теоремы Римана - Роха - Хирцебруха в алгебраической геометрии. Введённая Дж. Уайтхедом группа К₁(R) сыграла основную роль в решении так называемой конгруенц-проблемы: пусть К - числовое поле (конечное расширение поля Q) и R - его кольцо целых чисел (если К = Q, то R = Z); требуется установить, всякая ли подгруппа конечного индекса в SL_n(R) содержит группу всех матриц, сравнимых с единичной по модулю некоторого идеала I Є R. Проблема решается утвердительно для подполей К поля вещественных чисел R. К-группы Милнора поля можно связать с когомологиями группы Галуа его алгебраические замыкания (теоремы Меркурьева - Суслина, Воеводского). В топологии с помощью К-групп решены проблемы об индексе эллиптического оператора, о векторных полях на сфере и др. Алгебраическая К-теория находит применения и в теории чисел (нахождение групп Галуа абелевых расширений локальных полей, вычисление значений дзета-функций в целых точках).

Лит.: Басс Х. Алгебраическая К-теория. М., 1973; Algebraic К-theory. В. е. а., 1973. Vol. 1-3; Милнор Дж. Введение в алгебраическую К-теорию. М., 1974.