Алгебраическая Кривая

АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ КРИВАЯ, кривая, задаваемая в декартовых координатах алгебраическим уравнением, в общем случае алгебраическое многообразие размерности 1. Простейшими примерами алгебраической кривой являются аффинные и проективные прямые и кривые 2-го порядка. Плоская алгебраическая кривая задаётся одним алгебраическим уравнением F(x,y)=0 на аффинной плоскости А²_k  или одним однородным алгебраическим уравнением Ф(x₀,x₁,x₂)=0 на проективной плоскости Р²_k над некоторым полем k. Степень многочленов F(х, у) и Ф(х₀, х₁ , х₂) называется степенью (или порядком) соответствующей алгебраической кривой. Существуют аффинные и проективные кривые в пространствах любой размерности, не изоморфные плоским кривым.

В алгебраической геометрии изучаются в основном неособые проективные алгебраические кривые над алгебраически замкнутым основным полем. Основной задачей для алгебраических кривых является их бирациональная классификация. В каждом бирациональном классе существует единственная с точностью до изоморфизма полная неособая кривая. Она может быть изоморфно вложена (различными способами) в проективные пространства. Единственным дискретным бирациональным инвариантом алгебраической кривой Х является её род g = g(Х). Он равен размерности пространства регулярных дифференциальных форм на Х и принимает любые неотрицательные целые значения. Значение g = 0 характеризует рациональные кривые, это кривые, накрываемые проективной прямой Р¹_k. Кривые рода g = 1 называются эллиптическими кривыми. С точностью до изоморфизма они параметризуются аффинной прямой А¹_k. Классы изоморфизмов всех кривых фиксированного рода g ≥5  образуют неприводимое алгебраическое многообразие М_3g-3 размерности 3g-3, называемое многообразием модулей.

Для всякой кривой рода g ≥ 2 определено каноническое отображение её в проективное пространство P_k^g-1 размерности g - 1. В случае, когда оно является изоморфным вложением (и тогда его образ - кривая степени 2g-2), алгебраическая кривая называется канонической, в противном случае она называется гиперэллиптической. Гиперэллиптическая кривая рода g ≥ 2 может быть задана аффинным уравнением вида у² = Р(х), где Р(х) - многочлен степени 2g + 2 без кратных корней.

Теория алгебраической кривой возникла в конце 18 века как теория эллиптических кривых, точнее, эллиптических интегралов над полем комплексных чисел. С. Н. Абель в 1826 году рассмотрел более общие интегралы, названные впоследствии абелевыми интегралами, и заложил основы общей теории алгебраической кривой над полем С.

Н. Абель и К. Якоби построили также отображение алгебраической кривой в комплексный тор, вложение которого в проективное пространство при помощи тэта-функций задаёт на нём структуру проективного алгебраического многообразия, называемого якобиевым многообразием или якобианом кривой Х. Теория якобианов алгебраических кривых над произвольными полями была развита в 1940-х годах в работах А. Вейля.

Изучая алгебраические функции комплексного переменного, Б. Риман в 1851 году ввёл понятие, называемое теперь римановой поверхностью (одномерным комплексным многообразием), и положил начало изучению топологии комплексных алгебраических кривых. Был выяснен топологический смысл рода как числа ручек соответствующей компактной римановой поверхности. Риманова поверхность для Р³_С - это сфера Римана, для эллиптической кривой — одномерный комплексный.

О связи алгебраической кривой и автоморфных функций смотри в статье Автоморфная функция. В современной теории изучаются также арифметические свойства алгебраической кривой над конечными и числовыми полями.

Лит.: Шокуров В. В. Алгебраические кривые и их якобианы // Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. М., 1989. Т. 36. См. также литературу при статье Алгебраическая геометрия.