Аналитическая Геометрия

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, раздел геометрии, в котором геометрические объекты (прямые, плоскости, линии и поверхности второго порядка) исследуются средствами алгебры на основе метода координат.

Возникновение в 17 веке метода координат связано с развитием астрономии, механики и техники. Изложение этого метода и основ аналитической геометрии было дано Р. Декартом в его «Геометрии» (1637). Основные идеи метода были известны также его современнику П. Ферма. Дальнейшая разработка аналитической геометрии связана с трудами Г. Лейбница, И. Ньютона и особенно Л. Эйлера. Средствами аналитической геометрии пользовался Ж. Лагранж при построении аналитической механики и Г. Монж в дифференциальной геометрии. Долгое время для аналитической геометрии было принято название «декартова геометрия», которое ввёл И. Бернулли (1692).

Сущность метода координат заключается в следующем. Пусть на плоскости заданы две взаимно перпендикулярные прямые Ох и Оу (рис. 1).

Эти прямые с указанием направления, начала координат О и масштабной единицы образуют так называемую декартову систему координат Оху на плоскости. Прямые Ох и Оу называются соответственно осью абсцисс и осью ординат. Положение любой точки М на плоскости по отношению к этой системе Оху можно определить следующим образом. Пусть М_х и М_у - проекции М на Ох и Оу, а числа х и у — величины отрезков ОМ_х и ОМ_у; величина х отрезка ОМ_х равна длине этого отрезка, взятой со знаком плюс, если направление от О к М_х совпадает с направлением на прямой Ох, и со знаком минус в противоположном случае, величина у определяется аналогично. Числа х и у называются декартовыми прямоугольными координатами (прямоугольными координатами, декартовыми координатами) точки М в системе Оху. Обычно х называется абсциссой, а у — ординатой точки М. Для обозначения точки М с абсциссой х и ординатой у пользуются символом М(х, у) или (х,у). Координаты точки М определяют её положение относительно системы Оху.

Пусть на плоскости с прямоугольной системой координат Оху задана некоторая линия L. Используя понятие координат точек, можно ввести понятие уравнения линии L относительно системы Оху как соотношения вида F(х,у) = 0, которому удовлетворяют координаты х и у любой точки М, расположенной на L, и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на L. Если, например, линия L является окружностью радиуса r с центром в начале координат О, то уравнение х² + у² - r² = 0 является уравнением рассматриваемой окружности (рис. 2). Если точка М лежит на окружности, то по теореме Пифагора для треугольника ОММ_х справедливо равенство х² + у²-r² = 0. Если же точка не лежит на окружности, то х² + у²- r² ≠ 0.

Основная идея метода координат состоит в том, что геометрия, свойства линии L исследуются с помощью изучения свойств уравнения этой линии аналитическими и алгебраическими средствами. Например, для нахождения числа точек пересечения окружности С радиуса r и данной прямой линии b (рис. 3) метод координат применяется следующим образом. Систему координат Оху выбирают так, чтобы её начало находилось в центре окружности, а ось Ох была направлена перпендикулярно прямой b. Так как прямая b перпендикулярна оси Ох, абсцисса любой точки этой прямой равна некоторой постоянной а, т. е. уравнение прямой имеет вид х - а = 0. Координаты (х, у) любой точки пересечения окружности С (уравнение которой имеет вид х² + у²-r² = 0) и прямой b удовлетворяют уравнениям

Следовательно, геометрической вопрос о числе точек пересечения прямой и окружности сводится к аналитическому вопросу о числе решений системы алгебраических уравнений (1). Решая эту систему, получают

т. о., окружность и прямая пересекаются в двух точках при r² > а² (этот случай изображён на рисунке 3), имеют одну общую точку при r² = а² (в этом случае прямая b касается окружности С) и не имеют общих точек при r²<а².

В аналитической геометрии на плоскости исследуются так называемые алгебраические линии 1-го и 2-го порядков; эти линии в прямоугольных координатах определяются соответственно алгебраическими уравнениями 1-й и 2-й степеней. На плоскости линии 1-го порядка суть прямые, и обратно, каждая прямая определяется алгебраическим уравнением 1-й степени ax+by+c=0, линии 2-го порядка определяются уравнениями вида ax²+bxy+cy²+dx+ey+f=0 где а, b, с, d, е, f - некоторые числа.

Для исследования и классификации линий 2-го порядка вначале выбирается такая прямоугольная система координат, в которой уравнение линии имеет наиболее простой вид, а затем проводится исследование этого уравнения. О линиях 2-го порядка смотри в статьях Гипербола, Конические сечения, Парабола, Эллипс.

В пространстве прямоугольные координаты х, у и z (соответственно абсцисса, ордината и аппликата) точки М вводятся по аналогии с плоским случаем (рис. 4). Каждой поверхности S в пространстве можно сопоставить её уравнение F(х, у, r) = 0 относительно системы координат Oxyz. Например, уравнение сферы радиуса r с центром в начале координат имеет вид x²+y²+z²-r²=0.

Геометрические свойства поверхности S исследуются с помощью изучения свойств уравнения этой поверхности аналитическими и алгебраическими средствами. Линию L в пространстве задают как линию пересечения двух поверхностей S₁ и S₂. Если F₁(х, у, z) = 0 и F₂(х, у,z) = 0 - уравнения поверхностей S₁ и S₂, то пара этих уравнений, рассматриваемая совместно, представляет собой уравнение линии L. Например, прямую в пространстве можно рассматривать как линию пересечения двух плоскостей. Т. к. плоскости в пространстве определяются уравнениями вида ax+by+cz+d=0, то прямую можно задать парой уравнений такого вида, рассматриваемых совместно. Таким образом, метод координат может применяться и для исследования линий в пространстве. В пространстве систематически исследуются так называемые алгебраические поверхности 1-го и 2-го порядков. Алгебраическими поверхностями 1-го порядка являются лишь плоскости. Поверхности 2-го порядка определяются уравнениями вида

где а, b.....n - некоторые числа. Также как в случае плоскости, для исследования и классификации этих поверхностей вначале выбирается такая прямоугольная система координат, в которой уравнение поверхности имеет наиболее простой вид, а затем проводится исследование этого уравнения. О поверхностях 2-го порядка смотри в статьях Гиперболоид, Параболоид, Эллипсоид.

В аналитической геометрии эффективно используется векторная алгебра. Естественное обобщение аналитической геометрии на случай многомерных векторных пространств составляет особый раздел математики - линейную алгебру.

Лит.: Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. 9-е изд. М., 1967; Погорелов А. В. Аналитическая геометрия. 4-е изд. М., 1978; Александров П. С. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М., 1979; Постников М. М. Аналитическая геометрия. М., 1979; Ильин В. А., Позняк Э. Г. Аналитическая геометрия. 3-е изд. М., 1981.