Арифметика

АРИФМЕТИКА (от греческого αριθμ?ς - число), раздел математики, предметом которого являются числа, в первую очередь целые. Арифметические исследования послужили базой для многих разделов математики. Арифметика возникла и развивалась в странах Древнего Востока: Египте (смотри Папирусы математические), Вавилоне (смотри Клинописные математические тексты), Китае, Индии, позднее в Древней Греции из практических потребностей хозяйственной деятельности, торговли и в связи с задачами измерения расстояний, времени, площадей, а также с астрономическими расчётами.

Древние греки делали различие между теоретической наукой арифметикой и искусством выполнения вычислений - логистикой. Примерно с начало 16 века название «арифметика» стало применяться к обеим дисциплинам. Позднее оно закрепилось также за школьным предметом, посвящённым свойствам целых и рациональных чисел и правилам выполнения над ними арифметических операций: сложения, вычитания, умножения и деления. В России слово «арифметика» вошло в употребление после появления первого русского печатного учебника математики, изданного в 1703 году Л. Ф. Магницким. Иногда говорят об элементарной арифметике, отличая её от высшей арифметики, которая составляет часть чисел теории. Эта классификация достаточно условна.

Одним из первых вопросов элементарной арифметики был вопрос о записи чисел. Наиболее распространённой является так называемая позиционная десятичная система записи натуральных (т. е. целых положительных) чисел. Для записи натуральных чисел используются десять знаков-цифр 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. При этом имеет значение место (позиция) цифры в ряду других цифр, записывающих число. Запись а_n...а₁а₀, где а_n,......а₁, a₀ - цифры и а_n≠ 0, обозначает целое чис­ло, состоящее из a₀ единиц, a₁ десятков и т.д., т. е. число a_n10ⁿ + ... + a₁10 + a₀. Число 10 называется основанием деся­тичной системы счисления. Применяют­ся и другие позиционные системы. Например, в двоичной системе используются два знака 0 и 1.

Если ненулевые целые числа а, b, с связаны равенством ас = b, то говорят, что число b делится на а. Число а назы­вается делителем b. Запись а|b означа­ет, что число b делится на а. Нуль де­лится на любое целое число а≠0. За­пись а|b означает, что b не делится на а. Известны различные признаки делимости чисел, записанных в десятичной систе­ме счисления. Так, число делится на 3 или на 9, если сумма цифр в его записи делится на 3 или на 9, число делится на 2 или на 5, если его последняя цифра делится на 2 или на 5; число a_n...a₁a₀ делится на 4, если 2a₁ +a₀ делится на 4. Существуют и другие признаки делимости.

Пусть a₁,..., а_d - целые числа, не все равные нулю. Множество общих дели­телей этих чисел конечно, наибольший из них называется наибольшим общим делителем этого набора чисел. Он обо­значается (a₁,...,a_d). Если a, b - целые числа и a>0, то существует единствен­ная пара целых чисел q, r, для которых b = aq + r, 0 ≤r<a. Число q называется частным, а r - остатком от деления b на а.             Справедливо равенство (а, b) = (r, а). Оно сводит вычисление наибольшего об­щего делителя пары чисел a, b к его вычислению для чисел r, а. Повторное применение этих действий ведёт к умень­шению чисел, для которых приходится вычислять наибольший общий делитель, и в конечном счёте позволяет вычис­лить (а, b) (алгоритм Евклида). Если (a, b) = 1, то числа а и b называются взаимно простыми.

Числа, представимые в виде дробей а/b, где а - целое и b — натуральное, называются рациональными числами. Дробь а/b называется сократимой, если существует равная ей дробь а₁/b₁, для которой 0<b₁<b. Чтобы выяснить, со­кратима или нет дробь а/b, можно вы­числить d = (а, b). Если d = 1, т. е. чис­ла а и b взаимно просты, то дробь несо­кратима. Если же d > 1, то дробь можно сократить на d, т. е. разделить на d чис­литель и знаменатель, и получившаяся в результате дробь будет несократимой. Уравнение ах + by = с, где а, b, с - це­лые, разрешимо в целых числах х, у то­гда и только тогда, когда с делится на (a, b). Существует быстрый способ на­хождения всех решений этого уравне­ния, основанный на алгоритме Евклида. Наименьшее натуральное число, деля­щееся как на a, так и на b, называется наименьшим общим кратным чисел а и b. Оно равно ab/(a, b). Для того что­бы сложить две дроби а/b и c/d, мож­но найти наименьшее общее кратное D знаменателей b и d и целые числа u и v такие, что D = bu, D = dv, тогда

Аналогично можно поступать при вычи­тании дробей. Произведение и отноше­ние дробей вычисляются по правилам

Обыкновенную дробь а/b можно пред­ставить в виде десятичной дроби.

Целое число а > 1 называется состав­ным, если оно может быть представле­но в виде произведения двух натураль­ных сомножителей, отличных от 1, т.е. в виде a = uv, u> 1, v>1. В противном случае число а > 1 называется простым. Простыми числами являются, например, 2, 3, 5, 7, 11, 13. Множество простых чи­сел бесконечно. Справедлива так называемая ос­новная теорема арифметики: ка­ждое отличное от 1 натуральное число представимо в виде произведения про­стых чисел, такое представление един­ственно (с точностью до порядка сомно­жителей). Если N - натуральное число и p₁< p₂< ... <p_n - все простые числа, делящие N, то справедливо равенство

где k_i, i=1,...,n, - натуральные чис­ла, оно называется каноническим разложени­ем числа N. Для каждого целого числа N> 1 каноническое разложение единственно. Основную теорему арифметики можно отнести к выс­шей арифметике.

К высшей арифметике можно отнести также алгоритм отыскания наибольшего об­щего делителя двух натуральных чисел и теорему о бесконечности множества простых чисел, методы решения алгебраических уравнений в целых и рациональ­ных числах, теорию сравнений, теорию степенных вычетов, теорию первообраз­ных корней и индексов, теорию квадра­тичных форм с целыми коэффициента­ми и представление чисел такими фор­мами, методы доказательства простоты чисел и разложения чисел на множи­тели, исследования свойств некоторых арифметических функций и сумм. Среди кон­кретных утверждений высшей арифметики - тео­рема о представимости каждого нату­рального числа в виде суммы четырёх квадратов, утверждения о неразрешимо­сти в натуральных числах уравнения х⁴ + у⁴ = z⁴, доказанное П. Ферма (не позднее 1665), и уравнения x³ + y³ = z³, доказанное Л. Эйлером (1770), а так­же так называемый квадратичный закон взаимности, доказанный К. Гауссом, связывающий разрешимость сравнений x² =q(mod р) и x² = p(mod q) при различных простых не­чётных числах р, q и отвечающий на во­прос, для каких простых чисел р разре­шимо сравнение х² = a(mod р) для фик­сированного целого а.

Можно сказать, что высшая арифметика есть элементарная теория чисел. Теория чисел использует аналитические, алгебраические, геометрические и многие другие методы для решения арифметических проблем, а также для ис­следования более широких классов чи­сел, например, алгебраических, трансцендентных. К нерешённым арифметическим проблемам относятся, например, проблема близнецов - утверждение о бесконечности множест­ва пар простых чисел р, q, разность ко­торых равна двум, проблема Гольдбаха о представимости каждого чётного чис­ла n ≥ 4 в виде суммы двух простых чи­сел, вопросы существования быстрых алгоритмов для вычисления индексов (дискретных логарифмов) по простому модулю.

Лит.: Магницкий Л. Ф. Арифметика, сиречь наука числительная... СПб., 1703; Dickson L.E. History of the theory of numbers: In 3 vol. Wash., 1919-1923; Гаусс К.Ф. Ариф­метические исследования // Гаусс К. Ф. Тру­ды по теории чисел. М., 1959; Дэвенпорт Г. Высшая арифметика. М., 1965; Диофант. Арифметика и книга о многоугольных чис­лах. М., 1974; Виноградов И. М. Основы тео­рии чисел. М., 1981.