Банахова алгебра

БАНАХОВА АЛГЕБРА, алгебра А над полем комплексных чисел, являющаяся банаховым пространством. Структура алгебры согласована со структурой банахова пространства в том смысле, что наряду с непрерывностью линейных операций в алгебре А непрерывно и умножение. Непрерывность произведения ху по совокупности аргументов х, у в данном случае равносильна непрерывности как слева (по х), так и справа (по у). В Банаховой алгебре существует норма || ? ||, эквивалентная исходной, удовлетворяющая условию ||х?у||  ≤  ||х|| ? ||у||. Если в Банаховой алгебре существует единица, то её норма равна 1.

Примерами Банаховой алгебры являются алгебра всех непрерывных функций на отрезке [0, 1], алгебра аналитических функций в диске (круге) |z| < 1 комплексной плоскости, непрерывных в его замыкании |z| ≤ 1 , алгебра всех ограниченных линейных операторов банахова пространства. Последняя алгебра не коммутативна, если пространство не одномерно. Алгебры всех ограниченных линейных операторов банаховых пространств универсальны: каждая Банахова алгебра точно представляется в виде замкнутой подалгебры подходящей алгебры операторов. Банаховы алгебры линейных операторов гильбертова пространства изучались в связи с задачами квантовой механики.

В отношении коммутативных Банаховых алгебр эффективным оказался абстрактный подход. Коммутативные Банаховы алгебры также называют коммутативными нормированными кольцами. Теория коммутативных Банаховых алгебр объединила многочисленные разрозненные факты классического гармонического анализа. Теория Банаховой алгебры также связана с многомерным комплексным анализом и алгебраической топологией.

Лит.: Гельфанд И. М., Райков Д. А., Шилов Г. Е. Коммутативные нормированные кольца. М., 1960; Нейман Дж. Математические основы квантовой механики. М., 1964; Хёрмандер Л. Введение в теорию функций нескольких комплексных переменных. М., 1968; Бурбаки Н. Элементы математики. Спектральная теория. М., 1972.