Банахово пространство

БАНАХОВО ПРОСТРАНСТВО, полное линейное нормированное пространство. Банахово пространство - одно из важнейших понятий современного математического и функционального анализа. Название «Банахово пространство» связано с именем С. Банаха, который дал общее определение Банахова пространства и начал систематическое изучение таких пространств. Базой для исследований Банаха послужили пространства функций и пространства последовательностей, введённые в начале 20 века Д. Гильбертом, А. Лебегом, М. Фреше, Ф. Риссом.

Наличие линейной структуры в Банаховом пространстве означает, что в нём определено умножение элементов на комплексные (или действительные) числа и для произвольной пары элементов определена их сумма. Операции сложения и умножения подчинены аксиомам векторного пространства. Линейное пространство называется нормированным, если каждому его элементу х поставлено в соответствие неотрицательное число ||х|| такое, что 1) ||x|| = 0 тогда и только тогда, ко­гда x = 0; 2) || λx||   = | λ| ||x||  для любого комплексного (или действительного) числа λ; 3) ||х + у|| ≤ ||х|| + ||y|| для лю­бых пар x и у элементов линейного про­странства. Число ||x|| называется нор­мой элемента х. Полнота нормирован­ного пространства X означает, что для любой последовательности элементов x_k из X такой, что ||х_к - х_n|| → 0 при k, n → ∞ существует элемент х в про­странстве X такой, что ||x-x_k|| → 0 при k → ∞.

Важным частным случаем Банахова пространства явля­ется гильбертово пространство, в ко­тором наряду с линейной структурой задано скалярное произведение (х, у), причём ||x|| =√(x,x).

Особую роль играют сепарабельные Банаховы пространства. Нормированное пространство X называется сепарабельным, если в нём су­ществует счётное множество элементов {x₁, х₂ ,...}, которое плотно в X, т.е. для любого ε > 0 и любого элемента х из X найдётся элемент x_k из множест­ва {x₁, х₂, ...} такой, что ||x-x_k||<ε. Примерами Банахова пространства являются пространство C[a, b] непрерывное на отрезке [а, b] функций f(x) с нормой

где максимум берётся по хЄ[а, b]; про­странство L_p[a, b], р≥1, состоящее из функций, интегрируемых в р-й степени по Лебегу, с нормой

пространство l_p, р≥1, бесконечных по­следовательностей x = (x₁, х₂, ... ) с нормой

Все эти пространства сепарабельны, а пространства L₂[a, b] и l₂ - гильбертовы. В современном анализе используются различные конкретные функциональные Банаховы пространства, в частности про­странства Соболева, Харди, Бесова.

Наряду с Банахова пространством В рассматривается сопряжённое с ним пространство В*, состоящее из линейных непрерывных функционалов на В, то есть линейных непрерывных отображений пространства В в поле комплексных (или действительных) чисел. Пространство В* с нормой ||f|| =sup|f(х)|, где супремум берётся по всем х, ||х||≤  1, также является Банаховым пространством. Важную роль в теории Банахова пространства играют следующие теоремы: теорема Хана - Банаха о возможности продолжения выпуклых функционалов с подпространства Банахова пространства на всё пространство с сохранением подчинения (в частности, о возможности продолжения линейных функционалов без увеличения нормы); теорема Банаха - Штейнхауза о равномерной ограниченности, утверждающая, что если последовательность линейных ограниченных операторов A_n такова, что числовая последовательность ||A_nx|| ограничена для каждого элемента х Банахова пространства, то ||A_nx||≤ С||х|| с некоторой постоянной С, не зависящей от n и х; теорема Банаха об обратном операторе, утверждающая, что если линейный непрерывный оператор отображает одно Банахово пространство на другое взаимно однозначно, то обратный оператор тоже непрерывен.

Лит.: Банах С. Курс фyнкцiнaльнoгo aнaлiзу. Kиiв, 1948; Рисс Ф., Секефальви Надь Б. Лекции по функциональному анализу. 2-е изд. М., 1979; Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. 6-е изд. М., 1989.