Бесконечное произведение

БЕСКОНЕЧНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ бес­конечной последовательности чисел р₁, р₂, ..., формально записанное про­изведение

Если последовательность частичных произведений Р_n = p₁ р₂ ... р_n при n →∞ сходится к числу Р, не равному ну­лю, то бесконечное произведение называют сходящимся, Р называют значением бесконечного произведения и пишут Р = ∏^∞_k=1Р_к. Если последовательность Р_n не сходится к конечному пределу или сходится к нулю, то бесконечное произведение называют рас­ходящимся.

Сходимость бесконечного произведения, все множители р_к которого положительны, равносильна сходимости ряда ∑^∞_k=1lnp_k.

Для сходимости бесконечного произведения необходимо, чтобы р_к→1 при k → ∞, поэтому бесконечное произведение часто записывают в виде

Если все числа a_k имеют одинаковые знаки, то сходимость такого бесконечного произведения рав­носильна сходимости ряда ∑^∞_k=1a_k.

Множителями бесконечного произведения могут быть ком­плексные числа, функции и вообще эле­менты произвольной природы, для ко­торых определены произведение конечного набора множителей и сходимость последовательностей элементов.

Бесконечные произведения используются для представления многих важных постоянных и функций. Например, Валлиса формула даёт представ­ление числа π в виде бесконечного произведения; установлен­ная Л. Эйлером формула

даёт представление функции sin х в ви­де бесконечного произведения, которое можно рассматривать как аналог разложения многочлена на произведение многочленов первой и второй степеней.

Бесконечные произведения впервые встречаются в работе Ф. Виета (1593). 

Лит.: Фихтенгольц Г. М. Курс дифференци­ального и интегрального исчисления. 8-е изд.