Бесконечность

БЕСКОНЕЧНОСТЬ (бесконечное), философское понятие, обозначающее безграничность и беспредельность как в бытийственном, так и в познавательном смысле. Вопрос о бесконечности возникает на всём протяжении истории культуры в самых разнообразных формах. Одна из непосредственных проблем - проблема бесконечности (или конечности) мирового пространства, времени, количества вещей в мире. Сюда же относится вопрос о возможности бесконечного деления континуума, выделения в нём точек. Вопрос о логической и онтологической природе бесконечности, о её статусе в Боге и в тварном мире получал разные решения и обоснования в философии, истории науки и богословии.

Актуальная и потенциальная бесконечность. Русское слово «бесконечное» имеет смысл отрицания: бесконечное есть не конечное (аналогично латинскому infinitum). Но это отрицание можно понимать двояко: или как частное отрицание - то, что может превзойти любое конечное, или как полное отрицание - то, что актуально превосходит любое конечное. Уже в схоластике 13-14 веков (В. Шервуд, В. Хейтесбери) осознаётся это различие, из схоластики же (Григорий из Римини) происходит и наименование этих двух разных подходов к бесконечному - потенциальная и актуальная бесконечность. Это различение было исходным пунктом и у создателя множеств теории - Г. Кантора. Бесконечность можно понимать или как процесс - как увеличение, например, натуральных чисел, удвоение длины отрезка, либо, наоборот, как уменьшение, деление данного отрезка на всё более мелкие части, - или как актуально данное законченное множество (или величину). Бесконечность как процесс не является, по Кантору, бесконечностью в собственном смысле: в каждой фазе этого процесса, хотя и безграничного, мы имеем дело лишь с конечной величиной, а в целом - с переменной конечной величиной. Эта «несобственная бесконечность» и называется потенциальной бесконечностью. Если же рассматривать бесконечное множество как нечто целое, актуально данное, не связанное ни с каким процессом, например, множество всех натуральных чисел или завершённый результат бесконечного деления отрезка на более мелкие части (как бы ни парадоксально было предположение подобного рассмотрения), то в этом случае речь идёт о собственно бесконечном, или об актуальной бесконечности. Заслугой Кантора была его критика имеющих тысячелетнюю историю аргументов против существования бесконечности, основанных нередко на смешении актуальной и потенциальной бесконечностей.

Бесконечность в истории философии. Античная мысль в основном рассматривает бесконечность как нечто неоформленное, «неставшее» и, следовательно, несовершенное. В пифагорейском списке противоположностей бесконечное стоит на стороне дурного (злого). Бытие в античной мысли связано с категорией меры и предела. Бесконечность выступает как беспредельное, безграничное (греческий - ?πειρον), почти не существующее (греческий - μ? ον) и, следовательно, как нечто близкое к хаосу, а иногда и отождествляется с ним. Бесконечное сближается у Платона и Аристотеля с материей как бесформенным и в силу этого как бы несуществующим. Бытие вещи доставляется идеей (или формой), которая ограничивает бесконечное, осуществляя «вписывание» вещи в упорядоченное единство космоса.

Для Аристотеля бесконечность существует только потенциально, как возможность безграничного изменения; не существует ни актуально бесконечного тела (конечен сам космос), ни бесконечной последовательности причин (так как в противном случае, по Аристотелю, отсутствовала бы первоначальная истинная причина движения). Актуальная бесконечность не дана ни чувствам, ни уму. Потенциальная бесконечность реализуется у Аристотеля для чисел в направлении возрастания - натуральный ряд, а для величин - в направлении убывания: потенциально бесконечное деление данного отрезка. Античная математика тоже мыслит свои «прямые» и «плоскости» как конечные, хотя и произвольно большие отрезки или куски плоскостей (в отличие от новоевропейской математики, в которой уже с 17 века начинают рассматривать бесконечные прямые, например, в проективной геометрии).

В неоплатонизме не без влияния  восточной мистики складывается положительное понимание бесконечности. В иерархии бытия у Плотина Ум предстаёт бесконечно могущественным, и всё сущее располагается между актуальной бесконечностью Ума и потенциальной бесконечностью меональной материи, лишённой границ и формы и получающей свои определения только через «отражения» совершенств высшего бытия.

Перелом в понимании бесконечности происходит с утверждением в европейской культуре христианства: не только Бог предстаёт актуально бесконечным, но и творение, в особенности человек как «образ Божий», несёт на себе (в определённой мере) отпечаток совершенств Творца. Однако происходит это не сразу. Ещё у Альберта Великого и Фомы Аквинского полностью господствуют аристотелевские запреты: в мире не может существовать актуальная бесконечность. Решающую роль в утверждении тезиса об актуальном существовании бесконечного сыграла средневековая мистика с её особым подчёркиванием значения воли в познании. Дунс Скот считал, что человеческая душа, способная воспринимать Божественную благодать, то есть самого бесконечного Бога, обладает некой бесконечной воспринимающей способностью. Майстер Экхарт учил, что в глубине человеческой души имеется нетварная Божественная «искорка» и, как соприродная Богу, эта «искорка», естественно, актуально бесконечна. В учении Николая Кузанского о совпадении абсолютного максимума и абсолютного минимума бесконечное, абсолютный максимум, становится «адекватной мерой» всех конечных вещей. Понимание соотношения бесконечного и конечного принципиально меняется по отношению к античному толкованию: если для последнего всё конечное было актуальным, а бесконечное выступало лишь как потенциальное, то для Николая Кузанского, наоборот, любая конечная вещь выступает как потенциальное ограничение актуально бесконечного бытия Божественной возможности. В рамках пантеистической философии бесконечности Спинозы не через предел, не через ограничение бесформенной материи вещи получают своё бытие, а от бесконечной божественной субстанции-природы, внутри которой самоопределение вещей выступает как частичная негация («каждое определение есть отрицание»); атрибуты этой субстанции - протяжённость и длительность - также бесконечны. Философско-богословская концепция Николая Кузанского служит также основанием представлений и о бесконечности Вселенной: то, что содержится в Боге «в свёрнутом виде», мир «разворачивает» в пространстве и времени; хотя мир не является бесконечным в том же смысле, что и Бог, - мир не есть всё, что может быть, - тем не менее пространственная протяжённость мира и время его существования не могут быть конечными, потому что они «выражают» бесконечность Бога. Пересмотр Н. Коперником геоцентрической системы мира и полемический талант Дж. Бруно (диалог «О бесконечности, вселенной и мирах», 1584 год) помогли этому тезису Николая Кузанского стать в высшей степени популярным к 18 веку.

Согласно Р. Декарту, хотя и «недопустимо рассуждать о бесконечном, но следует просто считать беспредельными вещи, у которых мы не усматриваем никаких границ, - такова протяжённость мира, делимость частей материи, число звёзд и так далее» («Первоначала философии», часть 1); бесконечна человеческая воля, являющаяся существенным признаком образа Божьего в человеке. В 17 веке наиболее убеждённым защитником существования актуальной бесконечности выступает Г. В. Лейбниц: актуально бесконечно количество субстанций - монад - в универсуме; каждая частица материи представляет собой также актуально бесконечную совокупность монад; в свою очередь каждая монада представляет в своих восприятиях весь универсум, бесконечный как в пространстве, так и во времени. Это приводит Лейбница в психологии к формулировке концепции бесконечно малых («подсознательных») восприятий, а в математике - к особому пониманию структуры пространственного континуума и, наконец, к созданию дифференциального и интегрального исчислений.

В «Критике чистого разума» И. Канта невозможны ни бесконечное число, ни бесконечная величина, мир в отношении своих пространственных и временных характеристик выступает ни как конечный, ни как бесконечный, а как indefinitum - неопределённый. У И. Г. Фихте, по-своему разрабатывавшего идею Майстера Экхарта о причастности человеческого духа к божественной сущности, вся природа выступает уже как бледное отражение истинной бесконечности, заключённой в абсолютном Я; в процессе его деятельности происходит становление целой последовательности миров, и в этой от века сущей потенциально бесконечной деятельности божественная природа абсолютного Я всё яснее приходит к осознанию своей актуальной бесконечности. У Г. В. Ф. Гегеля конечное и бесконечное являются лишь двумя терминами в его диалектической триаде. Простое отрицание конечного даёт лишь «дурную бесконечность»: никогда не завершающийся переход от одного конечного к другому; в истинно же бесконечном должны быть диалектически сняты оба соотнесённых момента. Таковым предстаёт у Гегеля абсолютный дух, который одновременно и актуально бесконечен, и осуществляет своё развитие через мир конечных духов.

Не очень удачную попытку опровергнуть традиционные возражения против актуальной бесконечности предпринял Б. Больцано в «Парадоксах бесконечного» (1851 год, русский перевод – 1911 год).

Использование в новоевропейской математике и науке методов дифференциального и интегрального исчислений, опирающихся на концепцию актуальной бесконечности, постоянно ставило перед философами вопрос о статусе этого понятия. Огромное значение имело для философии построение Г. Кантором теории множеств как своеобразного «исчисления бесконечностей» (попытка разделить сферы бесконечности: в Боге - Абсолют, в мире - Трансфинит и в человеческом уме - теория трансфинитных чисел). Философские дискуссии 20 века вокруг проблем бесконечности соотносятся с теорией множеств и проблемой оснований математики. Таковы, например, феноменологический подход к проблемам теории множеств у О. Беккера («Mathematische Existenz», 1927 год), интерпретация проблем теории множеств как выражения классического конфликта между аристотелевским концептуализмом и платонистской традицией в математике у Л. Брюнсвика («Les étapes de la philosophie mathématique», 1912 год) и др. Осознание парадоксальной природы канторовской шкалы бесконечностей (парадокс Бурали - Форти и др.), осуществлённое К. Гёделем и П. Коэном доказательство неполноты любой достаточно богатой логической теории определили понимание границ теории множеств в истолковании бесконечности. Как писал чешский математик П. Вопенка: «Теория множеств, усилия которой были направлены на актуализацию потенциальной бесконечности, оказалась неспособной потенциальность устранить, а только смогла переместить её в более высокую сферу» (Вопенка П., «Математика в альтернативной теории множеств», 1983 год, страница 124).

История освоения концепции бесконечности в европейской культуре свидетельствует о необычайной сложности этого понятия, которое выступает одним из основных моментов диалога науки, философии и религии.

Лит.: Гайденко П. П. Эволюция понятия науки (XVII-XVIII века): Формирование научных программ нового времени. М., 1987; Dauben J. W. G. Cantor: his mathematics and philosophy of the infinite. Princeton, 1990; Катасонов В. Н. Боровшийся с бесконечным. Философско-религиозные аспекты генезиса теории множеств Г. Кантора. М., 1999.